Как найти больший угол параллелограмма если известен только один

Содержание
  1. Один угол параллелограмма больше
  2. Как найти больший угол параллелограмма
  3. Углы параллелограмма
  4. Как найти меньший угол параллелограмма
  5. Параллелограмм определение и свойства. Вычисляем сумму углов и площадь параллелограмма: свойства и признаки
  6. Определение параллелограмма
  7. Стороны и углы: особенности соотношения
  8. Характеристики диагоналей фигуры
  9. Особенности смежных углов
  10. Определение характерных черт параллелограмма по теореме
  11. Вычисление площади фигуры
  12. Другие способы нахождения площади
  13. Применение в векторной алгебре
  14. Формулы для вычисления параметров параллелограмма
  15. Вывод
  16. Свойства параллелограмма:
  17. Доказательство
  18. Признаки параллелограмма:
  19. Доказательство
  20. Свойства прямоугольника:
  21. Доказательство
  22. Признаки прямоугольника:
  23. Доказательство
  24. Свойства ромба:
  25. Доказательство
  26. Признаки ромба:
  27. Доказательство
  28. Признаки квадрата:
  29. Доказательство
  30. Свойства ромба
  31. Признаки ромба
  32. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
  33. Свойства четырехугольников. Параллелограмм
  34. Свойства параллелограмма
  35. Теорема о свойствах параллелограмма.
  36. Признаки параллелограмма
  37. Свойства четырехугольников. Прямоугольник.
  38. Свойства прямоугольника:
  39. Свойства четырехугольников. Ромб
  40. Свойства ромба
  41. Признаки ромба.
  42. Свойства четырехугольников. Квадрат
  43. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
  44. Признаки параллелограмма
  45. Свойства параллелограмма
  46. Признаки параллелограмма
  47. Примеры решения задач

Один угол параллелограмма больше

Здравствуйте, друзья! Для вас очередная статья с разбором типовых задач входящих в состав экзамена по математике. Здесь представлены задачи с параллелограммами. Ставятся вопросы о вычислении углов. В этой статье мы уже вычисляли углы, там процесс сводился к решению прямоугольного треугольника.

Для решения данных заданий достаточно знать свойства и признаки параллельности прямых плюс применить немного логики. Вычислять можно устно, решения простые. Если кратко обозначить теоретические моменты, то озвучить можно следующие «истины»:

— Сумма соседних углов параллелограмма равна 180 градусам.

— Сумма углов треугольника равна 180 градусам.

— Биссектриса делит угол пополам.

*Да, ещё величины углов могут быть заданы относительно. Например, углы параллелограмма относятся как 2:3. Тут вам поможет введение коэффициента пропорциональности.

27805. Найдите тупой угол параллелограмма, если его острый угол равен 60 0 . Ответ дайте в градусах.

Сумма соседних углов параллелограмма равна 180 градусам. Это следует из свойств и признака параллельности прямых:

Сумма внутренних односторонних углов равна 180º

Таким образом, тупой угол параллелограмма равен 120 0 .

27806. Сумма двух углов параллелограмма равна 100 0 . Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Рассуждая логически получим следующее:

1. Сумма двух соседних углов параллелограмма равна 180 градусам, значит речь идёт не об этих углах.

2. Сумма двух тупых (противолежащих) углов будет всегда больше 180 градусов, значит остаются только два острых угла. Только их сумма может быть равна 100 градусам.

Так как они равны, значит угол будет равен 50-ти градусам. Таким образом, один из оставшихся (тупой угол) будет равен 130 0 .

27807. Один угол параллелограмма больше другого на 70 0 . Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах.

Понятно, что речь идёт о тупом угле. Он будет больше острого на 70 0 . Введём переменную. Пусть острый равен х градусов, тогда тупой равен х+70 0 . Получается, что

Значит тупой угол (больший) равен 55 0 +70 0 =125 0 .

27808. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 26 0 и 34 0 . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Получается, что острый угол параллелограмма равен 26 0 +34 0 =60 0 .

Таким образом больший угол будет равен 180 0 –60 0 =120 0 .

27822. Найдите больший угол параллелограмма, если два его угла относятся как 3:7. Ответ дайте в градусах.

Имеем: острый угол относится к тупому как 3:7. Введём коэффициент пропорциональности х. Так сумма соседних углов параллелограмма равна 180 градусам, значит

Значит больший угол будет равен 7∙18=126 градусов.

27823. Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах.

Построим указанные в условии биссектрисы:

Так как из указанных углов проведены биссектрисы, то получим:

То есть в треугольнике ODC сумма острых углов равна 90 градусам. Таким образом этот треугольник является прямоугольным, то есть угол между OD и CO равен 90 0 .

282852. В ромбе ABCD угол ACD равен 43 0 . Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

В ромбе диагонали являются биссектрисами, значит угол BCD будет равен 86 градусам. Таким образом:

282851. В ромбе ABCD угол ABC равен 122 0 . Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Источник

Как найти больший угол параллелограмма

Здравствуйте!
Нужно решить 2 задачи:
Как найти больший угол параллелограмма ABCD, если его диагональ AC образует с его сторонами углы 35 и 48 градусов.
Найти больший угол параллелограмма ABCD, если угол DAC, который образует диагональ АС со стороной параллелограмма, равен 47 градусов, а угол CAB равен 11 градусов.
Благодарна всем, кто откликнется!

Задача 1.
Как найти больший угол параллелограмма ABCD, если его диагональ AC образует с его сторонами углы 35 и 48 градусов.

Решение.
Построим параллелограмм ABCD и проведем в нем диагональ АС. Согласно условию угол ВАС равен 35 градусов, а угол CAD равен 48 градусов. Тогда угол BAD равен сумме углов ВАС и CAD и равен 35 + 48 = 83 градуса.
Сумма односторонних углов в параллелограмме составляет 180 градусов, тогда можем найти больший угол АВС параллелограмма:
АВС = 180 – BAD;
АВС = 180 – 83;
АВС = 97 градусов.

Ответ. Больший угол параллелограмма равен 97 градусов.

Задача 2.
Найти больший угол параллелограмма ABCD, если угол DAC, который образует диагональ АС со стороной параллелограмма, равен 47 градусов, а угол CAB равен 11 градусов.

Решение.
Построим параллелограмм и проведем в нем диагональ. Обозначим известные углы. Очевидно, что угол DAB параллелограмма равен сумме известных углов DAC и САВ и равен 47 + 11 = 58 градусов.
В параллелограмме сумма углов, которые прилегают к одной его стороне, составляет 180 градусов. Найдем угол ADC:
ADC = 180 – BAD;
ADC = 180 – 58;
ADC = 122 градуса.

Ответ. Больший угол параллелограмма равен 122 градуса.

При решении задач используется свойство соседних углов параллелограмма.

Источник

Углы параллелограмма

Параллелограмм представляет собой четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны и равны друг другу. Два угла, прилежащие к одной стороне параллелограмма, в сумме составляют 180°. Если известен один угол параллелограмма, несложно найти смежный с ним угол путем вычитания из 180° величину известного угла.

α = 180°-β

Таким образом, мы нашли значения всех углов, т.к. известно, что противолежащие углы параллелограмма равны.

Отрезок, проведенный из двух противоположных вершин параллелограмма, является его диагональю. Если заданы стороны и диагональ, можно определить углы параллелограмма. Диагональ делит параллелограмм на два одинаковых треугольника. Основанием треугольника является диагональ, боковыми сторонами — смежные стороны параллелограмма. Для определения угла используем теорему косинусов, по которой квадрат стороны треугольника (в нашем треугольнике это диагональ) равен сумме квадратов двух его сторон, образующих искомый угол, плюс удвоенное произведение этих сторон на косинус угла. Отсюда, косинус искомого угла равен сумме квадратов смежных сторон (а, b) минус квадрат третей стороны треугольника (в нашем случае — диагонали), противолежащей искомому углу, и все это деленное на удвоенное произведение смежных сторон:

d 2 = a 2 + b 2 + 2ab cos (α)

cos (α) = (a 2 + b 2 — d 2 ) / 2ab

,
где а, b — стороны параллелограмма, d — диагональ.
Воспользовавшись таблицей косинусов находим величину искомого угла. После чего находим смежный с ним угол.

Источник

Как найти меньший угол параллелограмма

Здравствуйте!
Нужно решить 2 задачи:

  1. Как найти меньший угол параллелограмма, если два его угла относятся как 14 : 22. Ответ нужно дать в градусах.
  2. Меньшая диагональ параллелограмма образует с его сторонами углы, равные 50 градусов и 65 градусов. Найти меньший угол параллелограмма.

Задача 1.
Найдем меньший угол параллелограмма, если два его угла относятся как 14 : 22. Ответ выразим в градусах.

Решение.
Построим параллелограмм и обозначим в нем два соседних угла.

Обозначим за k – коэффициент пропорциональности. Тогда меньший угол параллелограмма будет равен 14k градусов, а больший угол – 22k градусов.
Известно, что сумма соответственных углов в параллелограмме равна 180 градусов (на рисунке углы А и D – соответственные).
Составим уравнение:
14k + 22k = 180;
36k = 180;
k = 180 / 36;
k = 5.
Мы получили, что коэффициент пропорциональности равен 5. Тогда найдем меньший угол параллелограмма:
14 * 5 = 70 (градусов).

Читайте также:  Прямоугольный треугольник таблица синусов

Ответ. 70 градусов.

Задача 2.
Меньшая диагональ параллелограмма образует с его сторонами углы, равные 50 градусов и 65 градусов. Найти меньший угол параллелограмма.

Решение.
Построим параллелограмм и проведем в нем меньшую диагональ (она соединяет два тупых противоположных угла). Обозначим углы между диагональю и сторонами параллелограмма.

14-03_19_2.jpg

Найдем угол АВС:
АВС = ABD + CBD = 65 + 50 = 115 (градусов).
Углы BAD и АВС являются односторонними, а, как известно, их сумма равна 180 градусов:
BAD +ABC = 180;
BAD + 115 = 180;
BAD = 180 – 115;
BAD = 65 (градусов).

Источник

Параллелограмм определение и свойства. Вычисляем сумму углов и площадь параллелограмма: свойства и признаки

Время на чтение: 17 минут

Как в евклидовой геометрии точка и прямая — главные элементы теории плоскостей, так и параллелограмм является одной из ключевых фигур выпуклых четырехугольников. Из него, как нитки из клубка, втекают понятия «прямоугольника», «квадрата», «ромба» и других геометрических величин.

Определение параллелограмма

Выпуклый четырехугольник, состоящий из отрезков, каждая пара из которых параллельна, известен в геометрии как параллелограмм.

Как выглядит классический параллелограмм изображает четырехугольник ABCD. Стороны называются основаниями (AB, BC, CD и AD), перпендикуляр, проведенный из любой вершины на противоположную этой вершине сторону, — высотой (BE и BF), линии AC и BD — диагоналями.

Внимание! Квадрат, ромб и прямоугольник — это частные случаи параллелограмма.

Стороны и углы: особенности соотношения

Ключевые свойства, по большому счету, предопределены самим обозначением , их доказывает теорема. Эти характеристики следующие:

  1. Стороны, которые являются противоположными, — попарно одинаковые.
  2. Углы, расположенные противоположно друг другу — попарно равны.

Доказательство: рассмотрим ∆ABC и ∆ADC, которые получаются вследствие разделения четырехугольника ABCD прямой AC. ∠BCA=∠CAD и ∠BAC=∠ACD, поскольку AC для них общая (вертикальные углы для BC||AD и AB||CD, соответственно). Из этого следует: ∆ABC = ∆ADC (второй признак равенства треугольников).

Отрезки AB и BC в ∆ABC попарно соответствуют линиям CD и AD в ∆ADC, что означает их тождество: AB = CD, BC = AD. Таким образом, ∠B соответствует ∠D и они равны. Так как ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, которые так же попарно одинаковые, то ∠A = ∠C. Свойство доказано.

Характеристики диагоналей фигуры

Основной признак этих линий параллелограмма: точка пересечения разделяет их пополам.

Доказательство: пусть т. Е — это точка пересечения диагоналей AC и BD фигуры ABCD. Они образуют два соизмеримых треугольника — ∆ABE и ∆CDE.

AB=CD, так как они противоположные. Согласно прямых и секущей, ∠ABE = ∠CDE и ∠BAE = ∠DCE.

По второму признаку равенства ∆ABE = ∆CDE. Это означает, что элементы ∆ABE и ∆CDE: AE = CE, BE = DE и при этом они соразмерные части AC и BD. Свойство доказано.

Особенности смежных углов

У смежных сторон сумма углов равна 180° , поскольку они лежат по одну сторону параллельных линий и секущей. Для четырехугольника ABCD:

  1. , опущенные на одну сторону, являются перпендикулярными;
  2. противолежащие вершины имеют параллельные биссектрисы;
  3. треугольник, полученный проведением биссектрисы, будет равнобедренным.

Определение характерных черт параллелограмма по теореме

Признаки этой фигуры вытекают из ее основной теоремы, которая гласит следующее: четырехугольник считается параллелограммом в том случае, если его диагонали пересекаются, а эта точка разделяет их на равные отрезки.

Доказательство: пусть в т. Е прямые AC и BD четырехугольника ABCD пересекаются. Так как ∠AED = ∠BEC, а AE+CE=AC BE+DE=BD, то ∆AED = ∆BEC (по первому признаку равенства треугольников). То есть ∠EAD = ∠ECB. Они также являются внутренними перекрестными углами секущей AC для прямых AD и BC. Таким образом, по определению параллельности — AD || BC. Аналогичное свойство линий BC и CD выводится также. Теорема доказана.

Вычисление площади фигуры

Площадь этой фигуры находится несколькими методами, одним из самых простых: умножения высоты и основания, к которому она проведена.

Доказательство: проведем перпендикуляры BE и CF из вершин B и C. ∆ABE и ∆DCF — равные, поскольку AB = CD и BE = CF. ABCD — равновеликий с прямоугольником EBCF, так как они состоят и соразмерных фигур: S ABE и S EBCD , а также S DCF и S EBCD . Из этого следует, что площадь этой геометрической фигуры находится так же как и прямоугольника:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Для определения общей формулы площади параллелограмма обозначим высоту как hb , а сторону — b . Соответственно:

Другие способы нахождения площади

Вычисления площади через стороны параллелограмма и угол , который они образуют, — второй известный метод.

,

a и b — его стороны

α — угол между отрезками a и b.

Этот способ практически основывается на первом, но в случае, если неизвестна. всегда отрезает прямоугольный треугольник, параметры которого находятся тригонометрическими тождествами, то есть . Преобразуя соотношение, получаем . В уравнении первого способа заменяем высоту этим произведением и получаем доказательство справедливости этой формулы.

Через диагонали параллелограмма и угол, который они создают при пересечении, также можно найти площадь.

Доказательство: AC и BD пересекаясь, образуют четыре треугольника: ABE, BEC, CDE и AED. Их сумма равна площади этого четырехугольника.

Площадь каждого из этих ∆ можно найти за выражением , где a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Поскольку , то в расчетах используется единое значение синуса. То есть . Поскольку AE+CE=AC= d 1 и BE+DE=BD= d 2 , формула площади сводится до:

.

Применение в векторной алгебре

Особенности составляющих частей этого четырехугольника нашли применение в векторной алгебре, а именно: сложении двух векторов. Правило параллелограмма утверждает, что если заданные векторы и не коллинеарны, то их сумма будет равна диагонали этой фигуры, основания которой соответствуют этим векторам.

Доказательство: из произвольно выбранного начала — т. о. — строим векторы и . Далее строим параллелограмм ОАСВ, где отрезки OA и OB — стороны. Таким образом, ОС лежит на векторе или сумме .

Формулы для вычисления параметров параллелограмма

Тождества приведены при следующих условиях:

  1. a и b, α — стороны и угол между ними;
  2. d 1 и d 2 , γ — диагонали и в точке их пересечения;
  3. h a и h b — высоты, опущенные на стороны a и b;
Параметр Формула
Нахождение сторон
по диагоналям и косинусу угла между ними

по диагоналям и стороне

через высоту и противоположную вершину
Нахождение длины диагоналей
по сторонам и величине вершины между ними
по сторонам и одной из диагоналей

Вывод

Параллелограмм как одна из ключевых фигур геометрии находит применение в жизни, например, в строительстве при подсчете площади участка или других измерений. Поэтому знания об отличительных признаках и способах вычисления различных его параметров могут пригодится в любой момент жизни.

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Точку пересечения диагоналей параллелограмма называют его центром .

Свойства параллелограмма:

  1. Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна $180^<\circ>$, а противоположные углы равны.
  2. Противолежащие стороны параллелограмма равны.
  3. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

Доказательство

Пусть дан параллелограмм $ABCD$.

1. Заметим, что соседние углы $A$ и $B$ параллелограмма являются внутренними односторонними при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$, то есть их сумма равна $180^\circ$. Аналогично для других пар углов.

Если $\angle A + \angle B=180^\circ$ и $\angle C + \angle B=180^\circ$, то $\angle A = \angle C$. Аналогично, $\angle B = \angle D$.

2. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $CDA$. Из параллельности противоположных сторон параллелограмма следует, что $\angle BAC=\angle DCA$ и $\angle BCA=\angle DAC$. Поскольку $AC$ — общая, то треугольники $ABC$ и $CDA$ равны по второму признаку. Из равенства треугольников следует, что $AB=CD$ и $BC=AD$.

3. Поскольку параллелограмм — выпуклый четырехугольник, то его диагонали пересекаются. Пусть $O$ — точка пересечения. Из параллельности сторон $BC$ и $AD$ параллелограмма следует, что $\angle OAD=\angle OCB$ и $\angle ODA=\angle OBC$. Учитывая равенство $BC=AD$ получим, что треугольники $AOD$ и $COB$ равны по второму признаку. Следовательно, $AO=CO$ и $DO=BO$, что и требовалось.

Признаки параллелограмма:

  1. Если в четырехугольнике сумма любых двух соседних углов равна $180^<\circ>$, то этот четырехугольник — параллелограмм.
  2. Если в четырехугольнике противолежащие углы попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
  3. Если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
  4. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
  5. Если диагонали четырехугольника делятся точкой их пересечения пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство

Пусть дан четырехугольник $ABCD$.

1. Заметим, что соседние углы $A$ и $B$ являются внутренними односторонними при прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$. Так как их сумма равна $180^\circ$, то прямые $AD$ и $BC$ параллельны. Аналогично для другой пары прямых, то есть $ABCD$ — параллелограмм по определению.

2. Заметим, что $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D=360^\circ$. Если $\angle A = \angle C$, а $\angle B = \angle D$, то $\angle A + \angle B=180^\circ$ и аналогично для других пар соседних углов. Далее используем предыдущий признак.

3. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $CDA$. Поскольку $AC$ — общая, то из равенства противоположных сторон параллелограмма следует, что треугольники $ABC$ и $CDA$ равны по третьему признаку. Следовательно, $\angle BAC=\angle DCA$ и $\angle BCA=\angle DAC$, откуда следует параллельность противолежащих сторон.

4. Пусть $BC$ и $AD$ равны и параллельны. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $CDA$. Из параллельности прямых следует, что $\angle BCA=\angle DAC$. Поскольку $AC$ — общая и $BC=AD$, то треугольники $ABC$ и $CDA$ равны по первому признаку. Следовательно, $AB=CD$. Далее используем предыдущий признак.

5. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей и $AO=CO$, а $DO=BO$.Учитывая равенство вертикальных углов, получим, что треугольники $AOD$ и $COB$ равны по первому признаку. Следовательно, $\angle OAD=\angle OCB$, откуда следует параллельность $BC$ и $AD$. Аналогично для другой пары сторон.

Четырехугольник, в котором есть три прямых угла, называется прямоугольником.

Свойства прямоугольника:

  1. Диагонали прямоугольника равны.

Доказательство

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Поскольку прямоугольник является параллелограммом, то его противолежащие стороны равны. Тогда прямоугольные треугольники $ABD$ и $DCA$ равны по двум катетам, откуда следует, что $BD=AC$.

Признаки прямоугольника:

  1. Если в параллелограмме есть прямой угол, то этот параллелограмм является прямоугольником.
  2. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Доказательство

1. Если один из углов параллелограмма прямой, то, учитывая, что сумма соседних углов равна $180^<\circ>$, получим, что прямыми являются и остальные углы.

2. Пусть в параллелограмме $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ равны. Учитывая равенство противолежащих сторон $AB$ и $DC$, получим, что треугольники $ABD$ и $DCA$ равны по третьему признаку. Следовательно, $\angle BAD=\angle CDA$, то есть они прямые. Осталось воспользоваться предыдущим признаком.

Четырехугольник, в котором все стороны равны, называется ромбом.

Свойства ромба:

  1. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.

Доказательство

Пусть в ромбе $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Так как ромб является параллелограммом, то $AO=OC$. Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$. Так как $AO$ — медиана проведнная к основанию, то она является биссектрисой и высотой, что и требовалось.

Признаки ромба:

  1. Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.
  2. Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм является ромбом.

Доказательство

Пусть в параллелограмме $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Рассмотрим треугольник $ABC$.

1. Если диагонали перпендикулярны, то $BO$ является в треугольнике медианой и высотой.

2. Если диагональ $BD$ содержит биссектрису угла $ABC$, то $BO$ является в треугольнике медианой и биссектрисой.

В обоих случаях получим, что треугольник $ABC$ — равнобедренный и в параллелограмме соседние стороны равны. Следовательно, он является ромбом, что и требовалось.

Прямоугольник, у которого две соседние стороны равны, называется квадратом.

Признаки квадрата:

  1. Если у ромба есть прямой угол, то этот ромб является квадратом.
  2. Если у ромба диагонали равны, то этот ромб является квадратом.

Доказательство

Если у параллелограмма есть прямой угол или равны диагонали, то он является прямоугольником. Если же четырехугольник является прямоугольником и ромбом, то он — квадрат.

И снова вопрос: ромб — это параллелограмм или нет?

С полным правом — параллелограмм , потому что у него и (вспоминаем наш признак 2 ).

И снова, раз ромб — параллелограмм , то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Свойства ромба

Посмотри на картинку:

Как и в случае с прямоугольником, свойства эти — отличительные , то есть по каждому из этих свойств можно заключить, что перед нами не просто параллелограмм , а именно ромб.

Признаки ромба

И снова обрати внимание : должен быть не просто четырехугольник, у которого перпендикулярны диагонали, а именно параллелограмм . Убедись:

Нет, конечно, хотя его диагонали и перпендикулярны, а диагональ — биссектриса углов и. Но … диагонали не делятся, точкой пересечения пополам, поэтому — НЕ параллелограмм , а значит, и НЕ ромб .

То есть квадрат — это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.

Понятно почему? — ромб — биссектриса угла A, который равен. Значит делит (да и тоже) на два угла по.

Ну, это совсем ясно: прямоугольник диагонали равны; ромб диагонали перпендикулярны, и вообще — параллелограмм диагонали делятся точкой пересечения пополам.

СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Свойства четырехугольников. Параллелограмм

Свойства параллелограмма

Внимание! Слова «свойства параллелограмма » означают, что если у тебя в задаче есть параллелограмм, то всем нижеследующим можно пользоваться.

Теорема о свойствах параллелограмма.

В любом параллелограмме:

Давай-ка поймём, почему это всё верно, иными словами ДОКАЖЕМ теорему.

Итак, почему верно 1)?

Раз — параллелограмм, то:

  • как накрест лежащие
  • как накрест лежащие.

Значит, (по II признаку: и — общая.)

Ну вот, а раз, то и — всё! — доказали.

Но кстати! Мы ещё доказали при этом и 2)!

Почему? Но ведь (смотри на картинку), то есть, а именно потому, что.

Осталось только 3).

Для этого всё-таки придётся провести вторую диагональ.

И теперь видим, что — по II признаку (угла и сторона «между» ними).

Свойства доказали! Перейдём к признакам.

Признаки параллелограмма

Напомним, что признак параллелограмма отвечает на вопрос «как узнать?», что фигура является параллелограммом.

В значках это так:

Почему? Хорошо бы понять, почему — этого хватит. Но смотри:

Ну вот и разобрались, почему признак 1 верен.

Ну, это ещё легче! Снова проведём диагональ.

И тоже несложно. Но …по-другому!

Значит, . Ух! Но и — внутренние односторонние при секущей!

Поэтому тот факт, что означает, что.

А если посмотришь с другой стороны, то и — внутренние односторонние при секущей! И поэтому.

Видишь, как здорово?!

Обрати внимание: если ты нашел хотя бы один признак параллелограмма в своей задаче, то у тебя точно параллелограмм, и ты можешь пользоваться всеми свойствами параллелограмма.

Для полной ясности посмотри на схему:


Свойства четырехугольников. Прямоугольник.

Свойства прямоугольника:

Пункт 1) совсем очевидный — ведь просто выполнен признак 3 ()

А пункт 2) — очень важный . Итак, докажем, что

А значит, по двум катетам (и — общий).

Ну вот, раз треугольники и равны, то у них и гипотенузы и тоже равны.

И представь себе, равенство диагоналей — отличительное свойство именно прямоугольника среди всех параллелограммов. То есть верно такое утверждение^

Давай поймём, почему?

Значит, (имеются в виду углы параллелограмма). Но ещё раз вспомним, что — параллелограмм, и поэтому.

Значит, . Ну и, конечно, из этого следует, что каждый из них по! Ведь в сумме-то они должны давать!

Вот и доказали, что если у параллелограмма вдруг (!) окажутся равные диагонали, то это точно прямоугольник .

Но! Обрати внимание! Речь идёт о параллелограммах ! Не любой четырехугольник с равными диагоналями — прямоугольник, а только параллелограмм!

Свойства четырехугольников. Ромб

И снова вопрос: ромб — это параллелограмм или нет?

С полным правом — параллелограмм, потому что у него и (Вспоминаем наш признак 2).

И снова, раз ромб — параллелограмм, то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Но есть и особенные свойства. Формулируем.

Свойства ромба

Почему? Ну, раз ромб — это параллелограмм, то его диагонали делятся пополам.

Почему? Да, потому же!

Иными словами, диагонали и оказались биссектрисами углов ромба.

Как в случае с прямоугольником, свойства эти — отличительные , каждые из них является ещё и признаком ромба.

Признаки ромба.

А это почему? А посмотри,

Значит, и оба этих треугольника — равнобедренные.

Чтобы быть ромбом, четырёхугольник сперва должен «стать» параллелограммом, а потом уже демонстрировать признак 1 или признак 2.

Свойства четырехугольников. Квадрат

То есть квадрат — это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.

Понятно, почему? Квадрат — ромб — биссектриса угла, который равен. Значит делит (да и тоже) на два угла по.

Ну, это совсем ясно: прямоугольник диагонали равны; ромб диагонали перпендикулярны, и вообще — параллелограмм диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Почему? Ну, просто применим теорему Пифагора к.

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

  1. Противоположные стороны равны: , .
  2. Противоположные углы равны: , .
  3. Углы при одной стороне составляют в сумме: , .
  4. Диагонали делятся точкой пересечения пополам: .
  1. Диагонали прямоугольника равны: .
  2. Прямоугольник — параллелограмм (для прямоугольника выполняются все свойства параллелограмма).
  1. Диагонали ромба перпендикулярны: .
  2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов: ; ; ; .
  3. Ромб — параллелограмм (для ромба выполняются все свойства параллелограмма).

Квадрат — ромб и прямоугольник одновременно, следовательно для квадрата выполняются все свойства прямоугольника и ромба. А так же.

Первым делом проведем диагональ AC . Получаются два треугольника: ABC и ADC .

Так как ABCD — параллелограмм, то справедливо следующее:

AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2 как лежащие накрест.

AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4 как лежащие накрест.

Следовательно, \triangle ABC = \triangle ADC (по второму признаку: и AC — общая).

И, значит, \triangle ABC = \triangle ADC , то AB = CD и AD = BC .

2. Противоположные углы тождественны.

Согласно доказательству свойства 1 мы знаем, что \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4 . Таким образом сумма противоположных углов равна: \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4 . Учитывая, что \triangle ABC = \triangle ADC получаем \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

3. Диагонали разделены пополам точкой пересечения.

Проведем еще одну диагональ.

По свойству 1 мы знаем, что противоположные стороны тождественны: AB = CD . Еще раз отметим накрест лежащие равные углы.

Таким образом видно, что \triangle AOB = \triangle COD по второму признаку равенства треугольников (два угла и сторона между ними). То есть, BO = OD (напротив углов \angle 2 и \angle 1 ) и AO = OC (напротив углов \angle 3 и \angle 4 соответственно).

Признаки параллелограмма

Если лишь один признак в вашей задаче присутствует, то фигура является параллелограммом и можно использовать, все свойства данной фигуры.

Для лучшего запоминания, заметим, что признак параллелограмма будет отвечать на следующий вопрос — «как узнать?» . То есть, как узнать, что заданная фигура это параллелограмм.

1. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны.

AB = CD ; AB || CD \Rightarrow ABCD — параллелограмм.

Рассмотрим подробнее. Почему AD || BC ?

\triangle ABC = \triangle ADC по свойству 1 : AB = CD , AC — общая и \angle 1 = \angle 2 как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AC .

Но если \triangle ABC = \triangle ADC , то \angle 3 = \angle 4 (лежат напротив AB и CD соответственно). И следовательно AD || BC (\angle 3 и \angle 4 — накрест лежащие тоже равны).

Первый признак верен.

2. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные стороны равны.

AB = CD , AD = BC \Rightarrow ABCD — параллелограмм.

Рассмотрим данный признак. Еще раз проведем диагональ AC .

По свойству 1 \triangle ABC = \triangle ACD .

Из этого следует, что: \angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || BC и \angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD , то есть ABCD — параллелограмм.

Второй признак верен.

3. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные углы равны.

\angle A = \angle C , \angle B = \angle D \Rightarrow ABCD — параллелограмм.

2 \alpha + 2 \beta = 360^ <\circ>(поскольку ABCD — четырехугольник, а \angle A = \angle C , \angle B = \angle D по условию).

Получается, \alpha + \beta = 180^ <\circ>. Но \alpha и \beta являются внутренними односторонними при секущей AB .

И то, что \alpha + \beta = 180^ <\circ>говорит и о том, что AD || BC .

При этом \alpha и \beta — внутренние односторонние при секущей AD . И это значит AB || CD .

Третий признак верен.

4. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого диагонали разделены точкой пересечения пополам.

AO = OC ; BO = OD \Rightarrow параллелограмм.

BO = OD ; AO = OC , \angle 1 = \angle 2 как вертикальные \Rightarrow \triangle AOB = \triangle COD , \Rightarrow \angle 3 = \angle 4 , и \Rightarrow AB || CD .

Аналогично BO = OD ; AO = OC , \angle 5 = \angle 6 \Rightarrow \triangle AOD = \triangle BOC \Rightarrow \angle 7 = \angle 8 , и \Rightarrow AD || BC .

Четвертый признак верен.

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

На рисунке 1 изображен параллелограмм $A B C D, A B\|C D, B C\| A D$.

Свойства параллелограмма

  1. В параллелограмме противоположные стороны равны: $A B=C D, B C=A D$ (рис 1).
  2. В параллелограмме противоположные углы равны $\angle A=\angle C, \angle B=\angle D$ (рис 1).
  3. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам $A O=O C, B O=O D$ (рис 1).
  4. Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне равна $180^<\circ>$:

$$\angle A+\angle B=180^<\circ>, \angle B+\angle C=180^<\circ>$$

$$\angle C+\angle D=180^<\circ>, \angle D+\angle A=180^<\circ>$$

Диагонали и стороны параллелограмма связаны следующим соотношением:

  • В параллелограмме угол между высотами равен его острому углу: $\angle K B H=\angle A$.
  • Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, взаимно перпендикулярны.
  • Биссектрисы двух противоположных углов параллелограмма параллельны.
  • Признаки параллелограмма

    Четырехугольник $ABCD$ будет параллелограммом, если

    1. $A B=C D$ и $A B \| C D$
    2. $A B=C D$ и $B C=A D$
    3. $A O=O C$ и $B O=O D$
    4. $\angle A=\angle C$ и $\angle B=\angle D$

    Площадь параллелограмма можно вычислить по одной из следующих формул:

    $S=a \cdot b \cdot \sin \alpha, \quad S=\frac<1> <2>d_ <1>\cdot d_ <2>\cdot \sin \phi$

    Примеры решения задач

    Задание. Сумма двух углов параллелограмма равна $140^<\circ>$. Найти больший угол параллелограмма.

    Решение. В параллелограмме противоположные углы равны. Обозначим больший угол параллелограмма $\alpha$, а меньший угол $\beta$. Сумма углов $\alpha$ и $\beta$ равна $180^<\circ>$, поэтому заданная сумма, равная $140^<\circ>$, это сумма двух противоположных углов, тогда $140^ <\circ>: 2=70^<\circ>$. Таким образом меньший угол $\beta=70^<\circ>$. Больший угол $\alpha$ найдем из соотношения:

    $\alpha+\beta=180^ <\circ>\Rightarrow \alpha=180^<\circ>-\beta \Rightarrow$

    $\Rightarrow \alpha=180^<\circ>-70^ <\circ>\Rightarrow \alpha=110^<\circ>$

    Задание. Стороны параллелограмма равны 18 см и 15 см, а высота, проведенная к меньшей стороне, равна 6 см. Найти другую высоту параллелограмма.

    Решение. Сделаем рисунок (рис. 2)

    Приравняем правые части этих равенств, и выразим, из полученного равенства, $h_ $:

    Подставляя исходные данные задачи, окончательно получим:

    Источник

    Читайте также:  Если диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам докажите
    Поделиться с друзьями
    Строю.ру