Как найдите объем правильной шестиугольной призмы

Объем правильной шестиугольной призмы: определение, примеры, формулы

Содержание:

Призмой называется многогранник с многоугольниками в основаниях, которые находятся в параллельных плоскостях. Поверхности или боковые грани геометрического тела представлены параллелограммами или прямоугольниками. Плоская фигура, которая лежит в основании призмы, определяет ее название: треугольник – треугольная, шестиугольник – шестиугольная. Рассмотрим, как найти объем правильной шестиугольной призмы, ее особенности и свойства.

Характеристика правильной призмы

Геометрическое тело состоит из пары равносторонних 6-угольников, расположенных параллельно. После соединения точек многоугольников параллельными прямыми получается правильная шестиугольная призма. Шестиугольники называются основаниями, проходящие между ними линии – ребрами, образовавшиеся прямоугольники – боковыми гранями.

Отрезки, соединяющие расположенные в разных плоскостях вершины, называются диагоналями.

  • Боковые ребра равны по длине и параллельны.
  • Грани – это равные прямоугольники, основания – 6-угольники.
  • Боковая поверхность равна произведению периметра лежащего у ее основания шестиугольника на высоту.

Что такое объем призмы, как его определить

Геометрические тела занимают определенное место в пространстве. Объем шестиугольной призмы показывает, сколько жидкости или кубиков с длиной грани в единицу поместится внутри нее. Измеряется в кубических единицах: кубический сантиметр – см 3 , кубический метр – м 3 .

Формула вычисления объема правильной шестиугольной призмы следующая:

V = S * h, где:

  • S – площадь основания – шестиугольника;
  • h – высота геометрического тела или расстояние между расположенными в разных плоскостях точками, которые соединяются ребрами.

В большинстве задач известны высота призмы (h) и длина стороны многоугольника (a). Площадь последнего вычисляется по формуле:

После подстановки значений получаем:

Определим объем 6-угольной призмы на живом примере, если известны:

  • длина основания a = 6 см;
  • высота призмы h = 14 см.

Площадь основания – шестиугольника – определим отдельно.

или 93,53 см2. Если не требуется точное значение, достаточно выражения

Подставим в формулу:

V = S * h.

В задачах повышенной сложности иногда дается не длина ребра, а, например, диагонали (большой или малой). Для определения длины основания нужно помнить: большая диагональ вдвое длиннее стороны многоугольника, меньшая – в раз.

Источник

Как найти объем правильной шестиугольной призмы (формула)

Определение объемов геометрических тел является одной из важных задач пространственной геометрии. В данной статье рассматривается вопрос, что такое призма с шестиугольным основанием, а также приводится формула объема правильной шестиугольной призмы.

Читайте также:  Bmw e39 528 объем

Определение призмы

С точки зрения геометрии призмой называется фигура в пространстве, которая образована двумя одинаковыми многоугольниками, расположенными в параллельных плоскостях. А также несколькими параллелограммами, которые эти многоугольники соединяют в единую фигуру.

Вам будет интересно: Физические изменения у подростков: юношей и девушек

В трехмерном пространстве призму произвольной формы можно получить, если взять любой многоугольник и отрезок. Причем последний плоскости многоугольника принадлежать не будет. Тогда, располагая этот отрезок от каждой вершины многоугольника, можно получить параллельный перенос последнего в другую плоскость. Образованная таким способом фигура будет призмой.

Чтобы иметь наглядное представление о рассматриваемом классе фигур, приведем рисунок четырехугольной призмы.

Вам будет интересно: Физические изменения у подростков: юношей и девушек

Многие знают эту фигуру под названием параллелепипеда. Видно, что два одинаковых многоугольника призмы представляют собой квадраты. Их называют основаниями фигуры. Остальные четыре ее стороны — прямоугольники, то есть это частный случай параллелограммов.

Шестиугольная призма: определение и виды

Прежде чем приводить формулу, как определяется объем шестиугольной правильной призмы, необходимо четко понять, о какой фигуре пойдет речь. Шестиугольная призма имеет в основаниях шестиугольник. То есть, плоский многоугольник с шестью сторонами, углов столько же. Боковые стороны фигуры так же, как и для любой призмы, в общем случае являются параллелограммами. Сразу отметим, что шестиугольное основание может быть представлено как правильным, так и неправильным шестиугольником.

Расстояние между основаниями фигуры — это ее высота. Далее мы будем обозначать ее буквой h. Геометрически высота h представляет собой отрезок, перпендикулярный обоим основаниям. Если этот перпендикуляр:

  • опущен с геометрического центра одного из оснований;
  • пересекает второе основание также в геометрическом центре.

Фигура в этом случае называется прямой. В любом другом случае призма будет косоугольной или наклонной. Разницу между этими видами шестиугольной призмы можно увидеть с первого взгляда.

Прямая шестиугольная призма — это фигура, имеющая в основании правильные шестиугольники. При этом она является прямой. Рассмотрим подробнее ее свойства.

Элементы правильной шестиугольной призмы

Чтобы понять, как вычислить объем правильной шестиугольной призмы (формула приведена ниже в статье), необходимо также разобраться, из каких элементов состоит фигура, а также какими свойствами она обладает. Чтобы было легче анализировать фигуру, покажем ее на рисунке.

Главными ее элементами являются грани, ребра и вершины. Количества этих элементов подчиняется теореме Эйлера. Если обозначить Р — число ребер, В — количество вершин и Г — граней, тогда можно записать равенство:

Читайте также:  Как изменяется ускорение тела если массу тела

Проверим его. Число граней рассматриваемой фигуры равно 8. Две из них — это правильные шестиугольники. Шесть граней представляет собой прямоугольники, это видно из рисунка. Число вершин составляет 12. Действительно, 6 вершин принадлежат одному основанию, и 6 другому. Согласно формуле, число ребер должно равняться 18, что является справедливым. 12 ребер лежат в основаниях и 6 образуют параллельные друг другу стороны прямоугольников.

Переходя к получению формулы объема правильной шестиугольной призмы, следует остановить свое внимание на одном важном свойстве этой фигуры: прямоугольники, образующие боковую поверхность, равны между собой и перпендикулярны обоим основаниям. Это приводит к двум важным следствиям:

  • Высота фигуры равна длине ее бокового ребра.
  • Любое сечение боковой поверхности пирамиды, выполненное с помощью секущей плоскости, которая параллельна основаниям, является правильным шестиугольником, равным этим основаниям.

    Площадь шестиугольника

    Можно интуитивно догадаться, что эта площадь основания фигуры появится в формуле объема правильной призмы шестиугольной. Поэтому в данном пункте статьи найдем эту площадь. Правильный шестиугольник, разделенный на 6 одинаковых треугольников, вершины которых пересекаются в его геометрическом центре, показан ниже:

    Каждый из этих треугольников является равносторонним. Доказать это не очень сложно. Поскольку вся окружность имеет 360o, то углы треугольников вблизи геометрического центра шестиугольника равны 360o/6=60o. Расстояния от геометрического центра до вершин шестиугольника являются одинаковыми.

    Последнее означает, что все 6 треугольников будут равнобедренными. Поскольку один из углов равнобедренных треугольников равен 60o, значит, два остальных угла тоже равны по 60o. ((180o-60o)/2) — треугольники равносторонние.

    Обозначим длину стороны шестиугольника буквой a. Тогда площадь одного треугольника будет равна:

    S1 = 1/2*√3/2*a*a = √3/4*a2.

    Формула получена на основании стандартного выражения для площади треугольника. Тогда площадь S6 для шестиугольника будет:

    S6 = 6*S1 = 6*√3/4*a2 = 3*√3/2*a2.

    Формула определения объема правильной шестиугольной призмы

    Чтобы записать формулу для объема рассматриваемой фигуры, следует учесть приведенную выше информацию. Для произвольной призмы объем пространства, ограниченный ее гранями, вычисляется так:

    То есть, V равен произведению площади основания So на высоту h. Поскольку мы знаем, что высота h равна длине бокового ребра b для шестиугольной правильной призмы, а площадь ее основания соответствует S6, то формула объема правильной шестиугольной призмы примет вид:

    Пример решения геометрической задачи

    Дана шестиугольная правильная призма. Известно, что она вписана в цилиндр радиусом 10 см. Высота призмы в два раза больше стороны ее основания. Необходимо найти объем фигуры.

    Чтобы найти требуемую величину, необходимо знать длину стороны и бокового ребра. При рассмотрении правильного шестиугольника было показано, что его геометрический центр расположен в середине описанной вокруг него окружности. Радиус последней равен расстоянию от центра до любой из вершин. То есть он равен длине стороны шестиугольника. Эти рассуждения приводят к следующим результатам:

    Читайте также:  Газ 27527 объем масла

    b = h = 2*a = 20 см.

    Подставляя эти данные в формулу объема правильной шестиугольной призмы, получим ответ: V6≈5196 см3 или около 5,2 литра.

    Источник

    Как найдите объем правильной шестиугольной призмы

    Правильная шестиугольная призма — призма, в основаниях которой лежат два правильных шестиугольника, а все боковые грани строго перпендикулярны этим основаниям.

    Площадь оснований призмы

    В основаниях призмы находятся правильные шестиугольники со стороной a . По свойствам правильного шестиугольника, площадь оснований призмы равна

    Площадь полной поверхности призмы

    Площадь полной поверхности призмы складывается из площадей боковых граней призмы и площадей ее оснований. Каждая из боковых граней призмы является прямоугольником со сторонами a и h . Следовательно, по свойствам прямоугольника

    Объем призмы

    Объем призмы вычисляется как произведение площади ее основания на ее высоту. Высотой правильной призмы является любое из ее боковых ребер, например, ребро A A 1 . В основании правильной шестиугольной призмы находится правильный шестиугольник, площадь которого нам известна. Получаем

    Правильный шестиугольник в основаниях призмы

    Рассматриваем правильный шестиугольник ABCDEF, лежащий в основании призмы.

    Проводим отрезки AD, BE и CF. Пусть пересечением этих отрезков является точка O.

    По свойствам правильного шестиугольника, треугольники AOB, BOC, COD, DOE, EOF, FOA являются правильными треугольниками. Отсюда следует, что

    Проводим отрезок AE, пересекающийся с отрезком CF в точке M. Треугольник AEO равнобедренный, в нём A O = O E = a , ∠ E O A = 120 ∘ . По свойствам равнобедренного треугольника.

    Аналогичным образом приходим к заключению, что A C = C E = 3 √ ⋅ a , F M = M O = 1 2 ⋅ a .

    Находим E A 1

    В треугольнике A E A 1 :

    • A A 1 = h
    • A E = 3 √ ⋅ a — как мы только что выяснили
    • ∠ E A A 1 = 90 ∘ — по свойствам правильной призмы

    Таким образом, получается, что треугольник A E A 1 прямоугольный. По свойствам прямоугольного треугольника

    Если h = a , то тогда E A 1 = 2 ⋅ a

    • B B 1 = h
    • B E = 2 ⋅ a — потому что E O = O B = a
    • ∠ E B B 1 = 90 ∘ — по свойствам правильной прязмы

    Таким образом, получается, что треугольник B E B 1 прямоугольный. По свойствам прямоугольного треугольника

    Если h = a , то тогда

    После аналогичных рассуждений получаем, что F C 1 = A D 1 = B E 1 = C F 1 = D A 1 = h 2 + 4 ⋅ a 2 − − − − − − − − √ .

    В треугольнике F O F 1 :

    • F F 1 = h
    • F O = a
    • ∠ O F F 1 = 90 ∘ — по свойствам правильной призмы

    Таким образом, получается, что треугольник F O F 1 прямоугольный. По свойствам прямоугольного треугольника

    Если h = a , то тогда

    После аналогичных рассуждений получаем, что O A 1 = O B 1 = O C 1 = O D 1 = O E 1 = h 2 + a 2 − − − − − − √ .

    В треугольнике F E E 1 :

    • E E 1 = h
    • F E = a
    • ∠ F E E 1 = 90 ∘ — по свойствам правильной призмы

    Таким образом, получается, что треугольник F E E 1 прямоугольный. По свойствам прямоугольного треугольника

    Если h = a , то тогда

    После аналогичных рассуждений получаем, что длины диагоналей остальных боковых граней призмы также равны h 2 + a 2 − − − − − − √ .

    Источник

  • Поделиться с друзьями
    Объясняем