Как изменится объем конуса если радиус его основания

Во сколько раз увеличится объем

Здравствуйте, Дорогие друзья! В этой статье рассмотрим пару задач, в которых речь идёт об объёме конуса. В прошлой статье мы уже рассмотрели несколько заданий. Суть простая – стоит условие об уменьшении (увеличении) высоты конуса или радиуса в определённое. Ставится вопрос о том, как изменился объём. Ещё раз формула объёма конуса:

Сначала рассмотрим задачи, а затем изложу пару рекомендаций к решению.

27094. Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 3 раза?

27095. Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 1,5 раза?

Увеличим радиус в 1,5 раза:

Объём увеличится в 2,25 раза.

*То есть можно сделать вывод:

Если радиус основания конуса изменить (увеличить или уменьшить) в n раз, то его объём соответственно увеличится или уменьшится в n 2 раз. Посмотрите формальную запись:

Поставим такую задачу. Как изменится объём конуса, если его высоту увеличить в 10 раз, а радиус уменьшить в 4 раза.

Объём конуса равен:

Увеличим высоту в 10 раз и уменьшим радиус в 4:

По величине 0,625 видно, что объём уменьшится. То есть объём полученного конуса составит 0,625 от объёма исходного конуса.

Ещё это изменение можно выразить следующим образом.

Объём исходного конуса разделить на объём полученного и определить во сколько раз произойдёт уменьшение:

Можно сказать так – объём полученного конуса в 1,6 меньше исходного.

Как видите, задачи очень простые. Суть процесса решения сводится к тому, чтобы формулу объёма полученного конуса «привести» к такому виду:

Разумеется, если будет идти речь только об изменении высоты, то такую задачу можно решить устно (прямая зависимость).

Вторую задачу (где изменяется только радиус) при наличии опыта тоже можно решить устно, но лучше подробно записать процесс вычисления.

Задач, где речь идёт об изменении обеих величин на экзамене не предполагается, но будьте готовы на всякий случай.

В будущем обязательно рассмотрим приём, которым очень удобно пользоваться при решении подобных заданий. Речь пойдёт не только о конусах, но и о других телах, не пропустите, подпишитесь на рассылку.

Источник

Как изменится объем конуса если радиус его основания

Во сколько раз увеличится объем конуса, если радиус его основания увеличится в 1,5 раза, а высота останется прежней?

Объем конуса равен

где S — площадь основания, h —высота конуса, а r — радиус основания. При увеличении радиуса основания в 1,5 раза объем конуса увеличится в 2,25 раза.

Читайте также:  Как найти объем многогранника формула если все двугранные углы прямые

Уважаемый редактор! Условие данной задачи некорректно по причине, похожей на указанную для задания N 27137 (содержится в условии для этой задачи). В самом деле, радиус основания конуса можно увеличить в 1,5 раза (вообще говоря, в n раз): 1) полагая неизменной высоту конуса (на этом предположении и основано приведённое на сайте решение данной задачи); или 2) полагая неизменным телесный угол при вершине конуса: в данном случае параллельно основанию исходного конуса проводится сечение конической поверхности (часть которой является боковой поверхностью исходного конуса), проходящее через точку на продолжении высоты конуса, отстоящую от вершины в 1,5 раза (в n раз) дальше основания высоты исходного конуса, и, таким образом, получается отсечённый конус с радиусом, увеличенным в 1,5 раза (в n раз), так как больший конус подобен меньшему с коэффициентом 1,5; или 3) полагая неизменной образующую конуса (при этом, изменяются телесный угол (увеличивается) и высота конуса (уменьшается), а образующая, высота и радиус основания конуса соответствующим образом связаны теоремой Пифагора).

Во втором случае, учитывая, что объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, — объем большего конуса в 3,375 раза (в n в кубе раз) больше объёма меньшего конуса, то есть, объём конуса увеличится в 3,375 раза (в общем случае – в n в кубе раз).

В третьем случае ответ будет зависеть от соотношения между образующей и радиусом основании исходного конуса (так как образующая, высота и радиус основания связаны по теореме Пифагора).

Источник

Как изменится объем конуса если радиус его основания

Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 18,5 раза, а радиус основания останется прежним?

Объем конуса равен

где S — площадь основания, а h — высота конуса. При уменьшении высоты в 18,5 раз объем конуса также уменьшится в 18,5 раз.

Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 5 раз, а радиус основания останется прежним?

Объем конуса равен где S − площадь основания, а h − высота конуса. При уменьшении высоты в 5 раз объем конуса также уменьшится в 5 раз.

Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 8 раз, а радиус основания останется прежним?

Объем конуса равен

где S − площадь основания, а h − высота конуса. При уменьшении высоты в 8 раза объем конуса также уменьшится в 8 раза.

Во сколько раз изменится объём конуса, если его высота уменьшится в 12 раз, а радиус основания не изменился.

Читайте также:  Вычислите объем водорода образовавшегося при взаимодействии 48 г магния с избытком серной кислоты

Объем конуса равен где S — площадь основания, а h — высота конуса. При уменьшении высоты в 12 раз объем конуса также уменьшится в 12 раз.

Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 20 раз, а радиус основания останется прежним?

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 3 раза, а радиус основания останется прежним?

Объем конуса равен

где S — площадь основания, а h — высота конуса. При уменьшении высоты в 3 раза объем конуса также уменьшится в 3 раза.

Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 22 раза, а радиус основания останется прежним?

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 3 раза, а радиус основания останется прежним?

Объем конуса равен

где S — площадь основания, а h — высота конуса. При уменьшении высоты в 3 раза объем конуса также уменьшится в 3 раза.

Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 16,5 раза, а радиус основания останется прежним?

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 3 раза, а радиус основания останется прежним?

Объем конуса равен

где S — площадь основания, а h — высота конуса. При уменьшении высоты в 3 раза объем конуса также уменьшится в 3 раза.

Источник

Как изменится объем конуса если радиус его основания

Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 3 раза, а радиус основания останется прежним?

Объем конуса равен

где S — площадь основания, а h — высота конуса. При уменьшении высоты в 3 раза объем конуса также уменьшится в 3 раза.

V=1/3Sh-это формула объёма пирамиды!

Она же формула объема конуса.

Уважаемый редактор! Условие данной задачи некорректно по причине, похожей на указанную для задания N 27137 (содержится в условии для этой задачи). В самом деле, высоту конуса можно уменьшить в 3 раза (вообще говоря, в n раз) : 1) полагая неизменным основание (радиус основания) конуса (на этом предположении и основано приведённое на сайте решение данной задачи); или 2) полагая неизменным телесный угол при вершине конуса: в данном случае параллельно основанию конуса проводится сечение, делящее высоту в отношении 1:3 (1:n), и получается отсечённый конус с высотой, уменьшенной в 3 раз (в n раз). Во втором случае, учитывая, что меньший конус подобен большему с коэффициентом 1/3, а объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, — объем меньшего конуса в 27 раз меньше объема большего конуса.

Читайте также:  Как измерить объем цилиндра двигателя

В добавление замечу, что возможен ещё третий случай, когда высота конуса уменьшается в 3 раза (вообще говоря, в n раз): если образующая не меняется. При этом изменяются телесный угол (увеличивается), а радиус основания (увеличивается), так как образующая, высота и радиус основания конуса соответствующим образом связаны теоремой Пифагора. В данном случае ответ будет соответствующим образом зависеть от соотношения между образующей и радиусом основании исходного конуса. Например, если у исходного конуса положить угол между образующей и плоскость основания равным 45 град., то, в результате несложных вычислений, мы получим объём конуса (с уменьшенной в 3 раза высотой и той же самой образующей): V2 = 17/27*V1 или V2/V1 = 17/27.

Источник

Как изменится объем конуса если радиус его основания

Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 3 раза, а радиус основания останется прежним?

Объем конуса равен

где S — площадь основания, а h — высота конуса. При уменьшении высоты в 3 раза объем конуса также уменьшится в 3 раза.

V=1/3Sh-это формула объёма пирамиды!

Она же формула объема конуса.

Уважаемый редактор! Условие данной задачи некорректно по причине, похожей на указанную для задания N 27137 (содержится в условии для этой задачи). В самом деле, высоту конуса можно уменьшить в 3 раза (вообще говоря, в n раз) : 1) полагая неизменным основание (радиус основания) конуса (на этом предположении и основано приведённое на сайте решение данной задачи); или 2) полагая неизменным телесный угол при вершине конуса: в данном случае параллельно основанию конуса проводится сечение, делящее высоту в отношении 1:3 (1:n), и получается отсечённый конус с высотой, уменьшенной в 3 раз (в n раз). Во втором случае, учитывая, что меньший конус подобен большему с коэффициентом 1/3, а объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, — объем меньшего конуса в 27 раз меньше объема большего конуса.

В добавление замечу, что возможен ещё третий случай, когда высота конуса уменьшается в 3 раза (вообще говоря, в n раз): если образующая не меняется. При этом изменяются телесный угол (увеличивается), а радиус основания (увеличивается), так как образующая, высота и радиус основания конуса соответствующим образом связаны теоремой Пифагора. В данном случае ответ будет соответствующим образом зависеть от соотношения между образующей и радиусом основании исходного конуса. Например, если у исходного конуса положить угол между образующей и плоскость основания равным 45 град., то, в результате несложных вычислений, мы получим объём конуса (с уменьшенной в 3 раза высотой и той же самой образующей): V2 = 17/27*V1 или V2/V1 = 17/27.

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем