Как это равнобедренный остроугольный треугольник

Содержание
  1. Виды треугольников
  2. Остроугольный треугольник, элементы, свойства, признаки и формулы
  3. Остроугольный треугольник, элементы, свойства, признаки и формулы.
  4. Остроугольный треугольник (понятие и определение):
  5. Элементы остроугольного треугольника:
  6. Свойства остроугольного треугольника:
  7. Геометрия. Урок 3. Треугольники
  8. Определение треугольника
  9. Виды треугольников
  10. Отрезки в треугольнике
  11. Площадь треугольника
  12. Равнобедренный треугольник
  13. Равносторонний треугольник
  14. Прямоугольный треугольник
  15. Теорема Пифагора
  16. Примеры решений заданий из ОГЭ
  17. Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы
  18. Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы
  19. Равнобедренный треугольник (понятие):
  20. Свойства равнобедренного треугольника:
  21. Признаки равнобедренного треугольника:
  22. Формулы равнобедренного треугольника:
  23. Равнобедренный треугольник в природе, технике и культуре:
  24. Мировая экономика
  25. Справочники
  26. Востребованные технологии
  27. Поиск технологий
  28. О чём данный сайт?
  29. О Второй индустриализации

Виды треугольников

В зависимости от величин углов и соотношения длин сторон различают следующие виды треугольников.

Виды треугольников по углам:

  • остроугольные
  • прямоугольные
  • тупоугольные

Остроугольный треугольник — это треугольник, все углы которого острые (то есть градусная мера каждого угла меньше 90º).

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (то есть имеет градусную меру 90º).

Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол — тупой (то есть имеет градусную меру больше 90º).

Виды треугольников по сторонам:

  • равносторонние
  • равнобедренные
  • разносторонние

Равносторонний треугольник (или правильный треугольник) — это треугольник, у которого все три стороны равны.

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны.

Разносторонний треугольник — треугольник, все стороны которого имеют разную длину.

Если в задаче ничего не сказано о виде треугольника, его считают произвольным, то есть разносторонним.

Отрезки равной длины на чертеже отмечают равным количеством черточек:

Источник

Остроугольный треугольник, элементы, свойства, признаки и формулы

Остроугольный треугольник, элементы, свойства, признаки и формулы.

Остроугольный треугольник – это треугольник, у которого все углы острые.

Остроугольный треугольник (понятие и определение):

Остроугольный треугольник – это треугольник, у которого все углы острые, т.е. меньше 90°.

Остроугольный треугольник – это треугольник, у которого все три угла острые. В свою очередь, острый угол – это угол, градусная мера которого составляет менее 90 градусов.

Рис. 1. Остроугольный треугольник

∠ АВС, ∠ BАC, ∠ BСA – острые углы треугольника

По определению, каждый правильный (равносторонний) треугольник также является остроугольным, но не каждый остроугольный треугольник – правильным (равносторонним). Иными словами, правильный (равносторонний) треугольник является частным случаем остроугольного треугольника. У равностороннего треугольника каждый угол составляет 60 °.

Рис. 2. Равносторонний треугольник

АВ = ВС = АС – стороны треугольника,

∠ АВС = ∠ BАC = ∠ BСA = 60° – углы треугольника

Остроугольный треугольник также может быть одновременно равнобедренным треугольником .

Рис. 3. Равнобедренный треугольник

АВ = ВС – боковые стороны, АС – основание,

∠ АВС – вершинный угол, ∠ BАC и ∠ BСA – углы при основании

Хотя в остроугольном треугольнике каждый угол меньше 90 градусов, сумма углов в треугольнике всегда равна 180 градусам.

Элементы остроугольного треугольника:

Кроме сторон и углов у одностороннего треугольника также имеются внешние углы. Внешний угол это угол, смежный с внутренним углом треугольника. У любого треугольника, в т.ч. остроугольного, 6 внешних углов, по 2 на каждый внутренний. Любой внешний угол остроугольного треугольника всегда будет тупым углом .

Рис. 4. Остроугольный треугольник и внешний угол

∠ ВСD – внешний угол

Медиана остроугольного треугольника (как и любого другого треугольника), соединяющая вершину треугольника с противоположной стороной, делит ее пополам, т.е. на два одинаковых отрезка.

Читайте также:  Если у параллелограмма все углы равны то это квадрат

Рис. 5. Остроугольный треугольник и медиана остроугольного треугольника

MС – медиана остроугольного треугольника

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.

Рис. 6. Остроугольный треугольник и высота остроугольного треугольника

MС – высота остроугольного треугольника

Высота остроугольного треугольника находится внутри треугольника. Все 3 высоты остроугольного треугольника (как и любого треугольника) пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром.

Биссектриса в остроугольном треугольнике (как и в любом другом треугольнике) делит угол пополам. Биссектрисы пересекаются в точке, которая является центром вписанной окружности.

Рис. 7. Остроугольный треугольник и биссектриса угла остроугольного треугольника

MС – биссектриса угла остроугольного треугольника

Кроме того, биссектриса остроугольного треугольника (как и любого другого треугольника) делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Свойства остроугольного треугольника:

Свойства остроугольного треугольника аналогичны свойствам обычного треугольника:

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

Рис. 8. Остроугольный треугольник

2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

Рис. 9. Остроугольный треугольник с равными боковыми сторонами

3. Сумма углов остроугольного треугольника равна 180°.

4. Любая сторона остроугольного треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности:

Источник

Геометрия. Урок 3. Треугольники

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

  • Определение треугольника
  • Виды треугольников
  • Отрезки в треугольнике

Определение треугольника

Треугольник – многоугольник с тремя сторонами и тремя углами.

Угол ∠ A – угол, образованный сторонами A B и A C и противолежащий стороне B C .

Угол ∠ B – угол, образованный сторонами B A и B C и противолежащий стороне A C .

Угол ∠ C – угол, образованный сторонами C B и C A и противолежащий стороне A B .

Виды треугольников

Треугольник остроугольный , если все три угла в треугольнике острые.

Треугольник прямоугольный , если у него один из углов прямой ( = 90 ° ) .

Треугольник тупоугольный , если у него один из углов тупой.

Основные свойства треугольника:

  • Против большей стороны лежит больший угол.
  • Против равных сторон лежат равные углы.
  • Сумма углов в треугольнике равна 180 ° .
  • Если продолжить одну из сторон треугольника, например, A C , и взять на продолжении стороны точку D , образуется внешний угол ∠ B C D к исходному углу ∠ A C B .

Отрезки в треугольнике

Биссектриса угла – луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам.

Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне.

Свойства биссектрис треугольника:

  • Биссектриса угла – геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.
  • Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

Замечание: биссектриса угла – это луч, а биссектриса треугольника – отрезок.

Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Свойства медиан треугольника:

  • Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника (два треугольника, имеющих одинаковую площадь).
  • Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, считая от вершины.

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины угла треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону этого треугольника.

Если треугольник остроугольный, то все три высоты будут лежать внутри треугольника. Если треугольник тупоугольный, то высоты, проведенные из вершин острых углов будут лежать вне треугольника, а высота, проведенная из вершины тупого угла будет лежать внутри треугольника.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойство средней линии треугольника: средняя линия параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Всего в треугольнике можно провести три средние линии. Три средние линии разбивают исходный треугольник на четыре равных треугольника. Площадь каждого маленького треугольника будет равна четверти площади большого треугольника.

Площадь треугольника

Площадь произвольного треугольника можно найти следующими способами:

    Полупроизведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Равнобедренный треугольник

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.

Равнобедренный треугольник может быть остроугольным, прямоугольным и тупоугольным.

Свойства равноберенного треугольника:

  • В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
  • В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса, проведенные к основанию, совпадают.

Равносторонний треугольник

Равносторонним называется треугольник, у которого все стороны и все углы равны.

Площадь равностороннего треугольника находится по формуле S = a 2 3 4

Высота равностороннего треугольника находится по формуле h = a 3 2

Прямоугольный треугольник

Треугольник называется прямоугольным, если у него один из углов равен 90 ° .

Свойства прямоугольного треугольника:

  • Сумма двух острых углов треугольника равна 90 ° .
  • Катет, лежащий напротив угла в 30 ° , равен половине гипотенузы.
  • Если катет равен половине гипотенузы, он лежит напротив угла в 30 ° .

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

У прямоугольного треугольника катеты перпендикулярны друг другу, следовательно, площадь можно найти по формуле:

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с треугольниками

Источник

Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы

Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы

Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны между собой по длине.

Равнобедренный треугольник (понятие):

Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны между собой по длине.

Две равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми, а третья неравная им сторона – основанием.

Рис. 1. Равнобедренный треугольник

АВ = ВС – боковые стороны, АС – основание,

∠ АВС – вершинный угол, ∠ BАC и ∠ BСA – углы при основании

По определению, каждый правильный (равносторонний) треугольник также является равнобедренным, но не каждый равнобедренный треугольник – правильным (равносторонним).

Угол, образованный боковыми сторонами, называется вершинным углом, а углы, одной из сторон которых является основание, называются углами при основании.

Различают следующие виды равнобедренных треугольников:

остроугольный – все углы острые;

прямоугольный – угол при вершине прямой, а при основании углы острые;

тупоугольный – угол при вершине тупой, а при основании углы острые;

равносторонний (или правильный) – все стороны равны и все углы равны.

Свойства равнобедренного треугольника:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Рис. 2. Равнобедренный треугольник

2. Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов равны между собой.

Рис. 3. Равнобедренный треугольник

АН1 = СН2 – высота, АМ1 = СМ2 – медиана, АL1 = СL2 – биссектриса, проведённые из углов при основании

3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Рис. 4. Равнобедренный треугольник

ВD – биссектриса, высота и медиана, проведенные к основанию – это один и тот же отрезок

4. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на медиане (биссектрисе, высоте), проведенной к основанию равнобедренного треугольника.

Рис. 5. Равнобедренный треугольник

R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности

Признаки равнобедренного треугольника:

– если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный;

– если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой, то этот треугольник равнобедренный;

– если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой, то этот треугольник равнобедренный;

– если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

Формулы равнобедренного треугольника:

Пусть a – длина двух равных сторон равнобедренного треугольника, b – длина основания, h – высота (биссектриса, медиана) равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, α – углы при основании, β – вершинный угол, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 6, 7, 8).

Рис. 6. Равнобедренный треугольник

Формулы длины основания (b):

,

,

.

Формулы длины равных сторон (а):

.

Формулы углов:

Рис. 7. Равнобедренный треугольник

,

,

.

Формулы периметра (Р) равнобедренного треугольника:

Рис. 8. Равнобедренный треугольник

,

.

Формулы площади (S) равнобедренного треугольника:

,

,

.

Равнобедренный треугольник в природе, технике и культуре:

Например, молекула сероводорода имеет структуру равнобедренного треугольника с атомом серы S в центре.

Рис. 1. Структура молекулы сероводорода

Длина боковой стороны – связи HS = 133,6 пм, а вершинный угол ∠HSH = 92,1°.

Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com

Мировая экономика

Справочники

Востребованные технологии

  • Концепция инновационного развития общественного производства – осуществления Второй индустриализации России на период 2017-2022 гг. (107 130)
  • Экономика Второй индустриализации России (103 531)
  • Программа искусственного интеллекта ЭЛИС (30 114)
  • Этилен (этен), получение, свойства, химические реакции (30 075)
  • Метан, получение, свойства, химические реакции (26 920)
  • Крахмал, свойства, получение и применение (26 569)
  • Природный газ, свойства, химический состав, добыча и применение (25 567)
  • Целлюлоза, свойства, получение и применение (25 110)
  • Пропилен (пропен), получение, свойства, химические реакции (24 001)
  • Прямоугольный треугольник, свойства, признаки и формулы (23 752)

Поиск технологий

О чём данный сайт?

Настоящий сайт посвящен авторским научным разработкам в области экономики и научной идее осуществления Второй индустриализации России.

Он включает в себя:
– экономику Второй индустриализации России,
– теорию, методологию и инструментарий инновационного развития – осуществления Второй индустриализации России,
– организационный механизм осуществления Второй индустриализации России,
– справочник прорывных технологий.

Мы не продаем товары, технологии и пр. производителей и изобретателей! Необходимо обращаться к ним напрямую!

Мы проводим переговоры с производителями и изобретателями отечественных прорывных технологий и даем рекомендации по их использованию.

О Второй индустриализации

Осуществление Второй индустриализации России базируется на качественно новой научной основе (теории, методологии и инструментарии), разработанной авторами сайта.

Конечным результатом Второй индустриализации России является повышение благосостояния каждого члена общества: рядового человека, предприятия и государства.

Вторая индустриализация России есть совокупность научно-технических и иных инновационных идей, проектов и разработок, имеющих возможность быть широко реализованными в практике хозяйственной деятельности в короткие сроки (3-5 лет), которые обеспечат качественно новое прогрессивное развитие общества в предстоящие 50-75 лет.

Та из стран, которая первой осуществит этот комплексный прорыв – Россия, станет лидером в мировом сообществе и останется недосягаемой для других стран на века.

Источник

Читайте также:  Если диагональ параллелограмма делит его угол пополам то это параллелограмм квадрат
Поделиться с друзьями
Объясняем