Как движется материальная точка по окружности если ее тангенциальное ускорение равно 0

Лекция №2. Элементы кинематики

1.4. Нормальное и тангенциальное ускорения при криволинейном движении

В общем случае при движении тела его скорость изменяется как по величине, так и по направлению. Для характеристики быстроты изменения скорости движения вводится понятие ускорения.

Рассмотрим плоское движение, т. е. такое, при котором все участки траектории точки лежат в одной плоскости. Пусть вектор υ задает скорость точки А , в момент времени t . За время Δt движущаяся точка перешла в положение В и приобрела скорость, отличную от υ как по модулю, так и направлению и равную υ₁ = υ +Δ υ . Перенесем вектор υ₁ в точку А и найдем Δ υ (рис.). Средним ускорением a_ср неравномерного движения в интервале времени от t до t+Δt называется векторная величина, равная отношению изменения скорости Δ υ к интервалу времени Δt :

Ускорение в данный момент времени (мгновенное ускорение) представляет собой предел, к которому стремится выражение (1.4.1) при Δt 0 , т. е.

Таким образом, ускорение есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени.

Разложим вектор Δ υ на две составляющие. Для этого из точки А (рис. 1.4.1) по направлению скорости υ отложим вектор AD , по модулю равный υ₁ . Очевидно, что вектор CD , равный Δ υ_τ , определяет изменение скорости по модулю за время Δt : Δυ_τ=υ₁−υ . Вторая же составляющая Δυ_n вектора Δ υ характеризует изменение скорости за время Δt no направлению.

Тангенциальная составляющая ускорения

т.е. равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю.

Определим вторую составляющую ускорения. Допустим, что точка B близка к точке A , поэтому Δs можно считать дугой окружности некоторого радиуса r , мало отличающейся от хорды AB . Тогда из подобия треугольников AOB и EAD следует Δυ_n/AB=υ₁/r , но так как AB=υΔt , то Δυ_n/t=υυ₁/r . В пределе Δt 0 , получим υ₁ υ .

Поскольку υ₁ υ , угол EAD стремится к нулю, а так как треугольник EAD равнобедренный, то угол АDE между υ и Δ υ_n стремится к прямому. Следовательно, при Δt 0 векторы υ и Δ υ_n оказываются взаимно перпендикулярными. Так как вектор скорости направлен по касательной к траектории, то вектор Δ υ_n , перпендикулярный вектору скорости, направлен к центру ее кривизны. Вторая составляющая ускорения, равная

называется нормальной составляющей ускорения и направлена по нормали к траектории к центру ее кривизны. Поэтому эту составляющую ускорения называют также центростремительным ускорением.

Таким образом, полное ускорение тела a есть геометрическая сумма тангенциальной a_τ и нормальной a_n составляющих

Тангенциальное ускорение равно первой производной по времени от модуля скорости и определяет быстроту изменения скорости по модулю, и направлено по касательной к траектории.

Нормальное ускорение определяет быстроту изменения скорости по направлению и направлено к центру кривизны траектории.

Векторы a_τ и a_n взаимно перпендикулярны поэтому модуль полного ускорения равен

1.5. Классификация движений материальной точки

В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения движение можно классифицировать следующим образом:

1) a_τ=0,a_n=0 — прямолинейное равномерное движение.

2) a_τ=const,a_n=0 — прямолинейное равнопеременное движение.

Так как $$\vec <υ>= \over dt>$$ , то, проинтегрировав полученное выражение в пределах от нуля до произвольного момента времени можно найти перемещение точки: или

3) a_τ= ƒ(t), a_n=0 − прямолинейное движение с переменным ускорением.

4) a_τ=0, a_n=const — При таком движении скорость точки не изменяется по модулю, так как тангенциальная составляющая равна нулю, а изменяется только по направлению.

5) a_τ=const, a_n≠const − равнопеременное движение по окружности.

6) a_τ=0, a_n≠0 − равномерное криволинейное движение.

7) a_τ=const, a_n≠0 − криволинейное равнопеременное движение.

1.6. Кинематика абсолютно твердого тела

Вращательное движение − это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. При вращательном движении скорости и ускорения различных точек тела неодинаковы. Поэтому в качестве общих кинематических характеристик движения тела при вращении вводятся угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение тела. При вращении тела угол поворота изменяется со временем по некоторому закону ϕ = ϕ(t) , который называется уравнением вращательного движения тела.

Угловой скоростью тела называется вектор, численно равный первой производной по времени от угла поворота тела по времени и направленный вдоль оси вращения по правилу правого винта:

Вектор угловой скорости направлен по оси вращения, причем так, чтобы вращение, рассматриваемое с конца вектора угловой скорости, происходило против хода часовой стрелки (рис 1.6.1). Единицей угловой скорости является рад/с.

Скорость произвольной точки вращающегося тела называется линейной скоростью этой точки.

При равномерном вращении угловая скорость не изменяется со временем, то есть является постоянной величиной (ω = const) . Тогда

Равномерное вращение характеризуется периодом вращения и частотой вращения.

Период вращения − это время, за которое точка совершает один полный оборот, т. е. поворачивается на угол ϕ = 2π и на основании выражения (1.6.1) $$ = <2<π>\over ω>$$

Частота вращения − это число полных оборотов, которое делает точка при равномерном вращении, за единицу времени: $$ = <1\over T>= <ω\over 2π>$$ , откуда ϕ = 2πn .

Для характеристики неравномерного вращения тела вводится понятие углового ускорения .

Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:

При ускоренном вращении вектор углового ускорения сонаправлен с вектором угловой скорости, а при замедленном − противоположен ему.

В случае равнопеременного движения точки по окружности (ε = const) угловая скорость определяется по формуле

Или в скалярном виде

Проинтегрировав выражение (1.6.1) можно получить формулу для угла поворота тела

Исключив из последнего уравнения t , получим

где φ = 2πN , N − число полное число оборотов, совершенных телом.

В случае ε = ε(t) , угловая скорость и закон вращательного движения определяются следующими формулами

1.7. Связь между линейными и угловыми характеристиками тела при его вращении

За время dt точка проходит по дуге окружности радиуса R путь dS = Rdφ . Поэтому $$ <υ>= = = <ωR>$$ .

Если угол поворота вращающегося тела представить в виде dφ = ω(t)dt и проинтегрировать в пределах от начального момента времени t₁ до конечного момента времени t₂ , то получится угол, на который совершила поворот тело за время:

Тангенциальная и нормальная составляющие ускорения произвольной точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяются формулами:

Полученные соотношения (1.7.1) можно записать в векторном виде. Для этого на оси вращения ОО* (рис. 1.6.1) тела выберем любую точку A и проведем из нее радиус-вектор r в точку M . Векторное произведение ω × r по модулю и направлению совпадает с вектором скорости υ точки M :

Следовательно, можно записать, что вектор скорости υ = ω × r , а вектор ускорения точки

Источник

Движение по окружности

Движение по окружности — простейший случай криволинейного движения тела. Когда тело движется вокруг некоторой точки, наряду с вектором перемещения удобно ввести угловое перемещение ∆ φ (угол поворота относительно центра окружности), измеряемое в радианах.

Зная угловое перемещение, можно вычислить длину дуги окружности (путь), которую прошло тело.

Если угол поворота мал, то ∆ l ≈ ∆ s .

Угловая скорость

При криволинейном движении вводится понятие угловой скорости ω , то есть скорости изменения угла поворота.

Определение. Угловая скорость

Угловая скорость в данной точке траектории — предел отношения углового перемещения ∆ φ к промежутку времени ∆ t , за которое оно произошло. ∆ t → 0 .

ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .

Единица измерения угловой скорости — радиан в секунду ( р а д с ).

Существует связь между угловой и линейной скоростями тела при движении по окружности. Формула для нахождения угловой скорости:

Нормальное ускорение

При равномерном движении по окружности, скорости v и ω остаются неизменными. Меняется только направление вектора линейной скорости.

При этом равномерное движение по окружности на тело действует центростремительное, или нормальное ускорение, направленное по радиусу окружности к ее центру.

a n = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Модуль центростремительного ускорения можно вычислить по формуле:

a n = v 2 R = ω 2 R

Докажем эти соотношения.

Рассмотрим, как изменяется вектор v → за малый промежуток времени ∆ t . ∆ v → = v B → — v A → .

В точках А и В вектор скорости направлен по касательной к окружности, при этом модули скоростей в обеих точках одинаковы.

По определению ускорения:

a → = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Взглянем на рисунок:

Треугольники OAB и BCD подобны. Из этого следует, что O A A B = B C C D .

Если значение угла ∆ φ мало, расстояние A B = ∆ s ≈ v · ∆ t . Принимая во внимание, что O A = R и C D = ∆ v для рассмотренных выше подобных треугольников получим:

R v ∆ t = v ∆ v или ∆ v ∆ t = v 2 R

При ∆ φ → 0 , направление вектора ∆ v → = v B → — v A → приближается к направлению на центр окружности. Принимая, что ∆ t → 0 , получаем:

a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆ t → 0 ; a n → = v 2 R .

При равномерном движении по окружности модуль ускорения остается постоянным, а направление вектора изменяется со временем, сохраняя ориентацию на центр окружности. Именно поэтому это ускорение называется центростремительным: вектор в любой момент времени направлен к центру окружности.

Запись центростремительного ускорения в векторной форме выглядит следующим образом:

Здесь R → — радиус вектор точки на окружности с началом в ее центре.

Тангенциальное ускорение

В общем случае ускорение при движении по окружности состоит из двух компонентов — нормальное, и тангенциальное.

Рассмотрим случай, когда тело движется по окружности неравномерно. Введем понятие тангенциального (касательного) ускорения. Его направление совпадает с направлением линейной скорости тела и в каждой точке окружности направлено по касательной к ней.

a τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆ t → 0

Здесь ∆ v τ = v 2 — v 1 — изменение модуля скорости за промежуток ∆ t

Направление полного ускорения определяется векторной суммой нормального и тангенциального ускорений.

Движение по окружности в плоскости можно описывать при помощи двух координат: x и y. В каждый момент времени скорость тела можно разложить на составляющие v x и v y .

Если движение равномерное, величины v x и v y а также соответствующие координаты будут изменяться во времени по гармоническому закону с периодом T = 2 π R v = 2 π ω

Источник

Билет 5.Нормальное, тангенциальное и полное ускорения. Радиус кривизны траектории.

Криволинейные движения – движения, траектории которых представляют собой не прямые, а кривые линии. По криволинейным траекториям движутся планеты, воды рек.

Криволинейное движение – это всегда движение с ускорением, даже если по модулю скорость постоянна. Криволинейное движение с постоянным ускорением всегда происходит в той плоскости, в которой находятся векторы ускорения и начальные скорости точки. В случае криволинейного движения с постоянным ускорением в плоскости XOY проекции vx и vy ее скорости на оси Ox и Oy и координаты x и y точки в любой момент времени t определяется по формулам:

Частным случаем криволинейного движения – является движение по окружности. Движение по окружности, даже равномерное, всегда есть движение ускоренное: модуль скорости все время направлен по касательной к траектории, постоянно меняет направление, поэтому движение по окружности всегда происходит с центростремительным ускорением.

где r – радиус окружности.

Вектор ускорения при движении по окружности направлен к центру окружности и перпендикулярно вектору скорости.

При криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормальной и тангенциальной составляющих:

— нормальное (центростремительное) ускорение, направлено к центру кривизны траектории и характеризует изменение скорости по направлению:

v – мгновенное значение скорости, r – радиус кривизны траектории в данной точке.

— тангенциальное (касательное) ускорение, направлено по касательной к траектории и характеризует изменение скорости по модулю.

Полное ускорение, с которым движется материальная точка, равно:

Радиус кривизны— кривой в точке называется число , где — кривизна линии в точке . Если кривизна в точке равна 0, то радиус кривизны формально полагаем равным .

При описании механического движения, в частности движения по окружности, наряду с прямоугольной декартовой системой координат используется полярная система координат. Положение точки М на какой-то плоскости (например, ХОУ) определяется двумя полярными координатами: модулем r радиуса вектора точки и углом φ — угловой координатой, или полярным углом(рисунок 1.10).

Источник