Гистограмма по выборке объема n 100 найти



Ответы на все модули (для контрольного теста) по предмету «Математическая статистика»

Ответы на все модули (для контрольного теста) по предмету «Математическая статистика»

По выборке объема n=100 построена гистограмма частот:

Тогда значение а равно…

15

Формула Стерджесса для определения оптимального числа групп k при группировке данных статистической совокупности имеет вид (N – число единиц в совокупности):

Определение искомой характеристики генеральной совокупности внутри какого-то интервала с заданной вероятностью, называется

Интервальной оценкой

Вариант дискретного вариационного ряда, имеющий наибольшую частоту, называется

Модой

Наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной статистической совокупности – это:

Мода

К основным задачам математической статистики относится:

расчет числовых характеристик теоретических распределений вероятностей

В результате измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты: 10, 13, 13. Тогда несмещенная оценка дисперсии измерений равна

3

Если количественный признак изменяется непрерывно или принимает много значений, то соответствующий вариационный ряд называется

Интервальным

Мода вариационного ряда 2 , 3 , 4 , 8 , 9 , 9 , 10 равна …

9

Если количественный признак принимает дискретные значения, то соответствующий вариационный ряд называется

Дискретным

Медиана вариационного ряда 1 , 2 , 5 , 6 , 7 , 7 , 10 равна …

6

Из генеральной совокупности извлечена выборка объемом n = 49, полигон частот которой имеет вид:

тогда число выборочных значений (число вариант) для xi = 3 равно …

10

По городской телефонной сети было произведено 100 наблюдений и установлено, что средняя продолжительность телефонного разговора составляет 4 минут при среднеквадратичном отклонении 2 мин. Предельная ошибка выборки с вероятностью 0,954 составляет

0,4

В результате 10 опытов получены следующие выборочные значения: 3; 3; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 6; 6. Законом распределения для выборки является

Источник

Примеры решения типовых задач по математической статистике

Задача 55. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема N, заданная вариантами ХI и соответствующими им частотами. Найти несмещенную оценку генеральной средней.

Решение. Множество всех объектов, подлежащих изучению, называется Генеральной совокупностью. Множество случайно отобранных объектов называется выборочной совокупностью или Выборкой.

Для оценки неизвестных параметров теоретического распределения служат статистические оценки. Статистическая оценка, определяемая одним числом, называется Точечной оценкой.

Читайте также:  Как лучше всего запомнить материал большого объема

Точечная статистическая оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки, называется Несмещенной оценкой. Статистическая оценка, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру является Смещенной.

Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя

(1),

Где ХI – варианта выборки (элемент выборки); Ni – частота варианты ХI (число наблюдений варианты ХI); – объем выборки (число элементов совокупности).

Объем данной выборки равен .

Далее по формуле (1) вычисляем несмещенную оценку генеральной средней:

Задача 56. По выборке объема N=41 найдена смещенная оценка генеральной дисперсии . Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.

Решение. Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является «исправленная дисперсия»

или

Таким образом, мы получаем искомую несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности:

Задача 57. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью P=0,95 неизвестного математического ожидания A нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если даны генеральное среднее квадратическое отклонение S=5, выборочная средняя , а объем выборки N=25.

Решение. Интервальной оценкой называется интервал, покрывающий оцениваемый параметр. Доверительным интервалом является интервал, который с данной надежностью покрывает оцениваемый параметр.

Для оценки математического ожидания A нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении s генеральной совокупности служит доверительный интервал

,

Где – точность оценки, T – значение аргумента функции Лапласа (приложение, таблица 2).

В данной задаче T находим из условия . По таблице 2 определяем . Таким образом, T=1,96.

Или

Задача 58. По данным N=9 независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений и исправленное среднее квадратическое отклонение S=6. Оценить истинное значение измеряемой величины при помощи доверительного интервала с надежностью =0,99.

Решение. Оценкой математического ожидания A нормально распределенного количественного признака Х в случае неизвестного среднего квадратического отклонения является доверительный интервал

.

По таблице 3 приложения, по заданным N и находим =3,36.

Задача 59. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема N. Оценить с надежностью =0,95 математическое ожидание A нормально распределенного признака Х генеральной совокупности по выборочной средней с помощью доверительного интервала.

Читайте также:  Boost up долговременный прикорневой объем

Значение признака ХI

Решение. Объем данной выборки равен

По данным задачи находим выборочную среднюю:

Далее находим исправленное среднее квадратическое отклонение S:

Для оценки математического ожидания A нормально распределенного количественного признака Х в случае неизвестного среднего квадратического отклонения служит доверительный интервал

.

По таблице 3 приложения по заданным N и находим =2,26.

Задача 60. Построить полигон частот и эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

Решение. Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки ; ;…;, где ХI – варианты выборки, Ni – соответствующие им частоты.

Полигон частот для данного распределения изображен на рисунке 15.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию , определяющую для каждого значения X относительную частоту события :

,

Где – число вариант, меньших Х; N – объем выборки.

Из определения следует, что .

Найдем эмпирическую функцию распределения.

Объем данной выборки равен =18.

Если , то =0 (так как -3 – наименьшая варианта). Если , то значение , а именно наблюдалось 3 раза, следовательно, . При значения , а именно и наблюдались 3+6=9 раз, следовательно, .

Аналогично получаем, что при функция распределения ; при функция распределения ; при функция распределения . Далее, если , то (так как 7 – наибольшая варианта).

Таким образом, эмпирическая функция распределения равна:

График полученной эмпирической функции распределения изображен на рисунке 16.

Задача 61. Найти методом сумм асимметрию и эксцесс по заданному распределению выборки объема N=100:

Решение. Асимметрия эмпирического распределения определяется равенством:

,

Где — центральный эмпирический момент третьего порядка, вычисляемый по формуле:

Эксцесс эмпирического распределения определяется равенством:

,

Где — центральный эмпирический момент четвертого порядка, вычисляемый по формуле:

Асимметрия и эксцесс служат для оценки отклонения эмпирического распределения от нормального. Для нормального распределения эти характеристики равны нулю. Поэтому, если для изучаемого распределения асимметрия и эксцесс имеют небольшие значения, то можно предположить близость этого распределения к нормальному. Наоборот, большие значения асимметрии и эксцесса указывают на значительное отклонение от нормального. Кроме того, если эксцесс положительный, то распределение будет островершинным; если отрицательный, то распределение будет плосковершинным по сравнению с нормальным распределением.

Для практического расчета асимметрии и эксцесса непосредственно пользоваться вышеуказанными формулами довольно затруднительно, поэтому воспользуемся методом сумм. Составим расчетную таблицу 1, для этого:

Читайте также:  Как вычислить объем плоской фигуры

1) Запишем варианты в первый столбец.

2) Запишем частоты во второй столбец; сумму частот (100) поместим в нижнюю клетку столбца.

3) В качестве ложного нуля С выберем варианту (68), которая имеет наибольшую частоту (в качестве С можно взять любую варианту, расположенную примерно в середине столбца); в клетках строки, содержащей ложный нуль, запишем нули; в четвертом столбце над и под уже помещенным нулем запишем еще по одному нулю.

4) В оставшихся незаполненными над нулем клетках третьего столбца (исключая самую верхнюю) запишем последовательно накопленные частоты:

2; 2+4=6; 6+6=12; 12+8=20; 20+12=32.

Сложив все накопленные частоты, получим число B1=72, которое поместим в верхнюю клетку третьего столбца. В оставшихся незаполненными под нулем клетках третьего столбца (исключая самую нижнюю) запишем последовательно накопленные частоты:

5; 5+7=12; 12+8=20; 20+18=38.

Сложив все накопленные частоты, получим число A1=75, которое поместим в нижнюю клетку третьего столбца.

5) Аналогично заполняется четвертый столбец, причем суммируют частоты третьего столбца. Сложив все накопленные частоты, расположенные над нулем, получим число B2=70, которое поместим в верхнюю клетку четвертого столбца. Сумма накопленных частот, расположенных под нулем, равна числу A2=59, которое поместим в нижнюю клетку четвертого столбца.

6) Для заполнения столбца 5 запишем нуль в клетке строки, содержащей ложный нуль (68); над этим нулем и под ним поставим еще по два нуля. В клетках над нулями запишем накопленные частоты, для чего просуммируем частоты столбца 4 сверху вниз; в итоге будем иметь следующие накопленные частоты:

Сложив накопленные частоты, получим число B3=42, которое поместим в верхнюю клетку пятого столбца. В клетках под нулями запишем накопленные частоты, для чего просуммируем частоты столбца 4 снизу вниз; в итоге будем иметь следующие накопленные частоты:

Сложив накопленные частоты, получим число A3=27, которое поместим в нижнюю клетку пятого столбца.

7) Аналогично заполняется столбец 6, причем суммируют частоты столбца 5.

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем