Геометрия объем усеченной пирамиды

Площадь поверхности и объём усеченной пирамиды

Тема: «Пирамида и ее элементы»

Рассмотрим плоскость , многоугольник , лежащий в ней и точку S, не лежащую в ней. Соединим S со всеми вершинами многоугольника. Полученный при этом многогранник называется пирамидой.

Элементы пирамиды

апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины;

боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине пирамиды;

боковые ребра — общие стороны боковых граней;

вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;

высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра-центр основания);

основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Пирамида называется правильной, если правильный многоугольник, а основание высоты пирамиды (основание перпендикуляра) является его центром.

PS:
Не путайте понятие «правильная пирамида» и «правильный тетраэдр». У правильной пирамиды боковые ребра совсем не обязательно равны ребрам основания, а в правильном тетраэдре все 6 ребер ребра равные. Это его определение.

Что такое апофема?
Апофемой пирамиды называется высота ее боковой грани. Если пирамида правильная, то все ее апофемы равны. Обратное неверно.
SK, SN -апофемы, SP-высота, -основание

Формула объема пирамиды:

1) , где – площадь основания пирамиды, а -высота пирамиды

Площадь полной поверхности пирамиды:

Площадью поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней .
Площадь боковой поверхности— сумма площадей всех боковых граней .
Если все апофемы равны (например в правильной пирамиде), то площадь ее боковой поверхности вычисляется по формуле:

Задача: Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 39см , 17см, 28см, боковые ребра равны каждое 22,9см. Определить объем этой пирамиды.

ЗАДАЧИ для самостоятельного решения:

1.В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка О-центр основания, S- вершина, SO=12, BD=18. Найти боковое ребро SA.

2.В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания ABC пересекаются в точке О. Площадь треугольника ABC равна 9, объём пирамиды равен 6. Найти длину отрезка OS.

3. В правильной треугольной пирамиде SABC: N — середина ребра BC, S — вершина. Известно, что AB=2,а площадь боковой поверхности равна 9. Найдите длину отрезка SN.

Читайте также:  Citroen c4 2010 объем багажника

4.В правильной четырехугольной пирамиде высота 3м, боковое ребро 5 см. Найти сторону основания.

5.Определить площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, если сторона основания 8 см, апофема 6 см.

6.В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания ABC пересекаются в точке O. Площадь треугольника ABC равна 6; объем пирамиды равен 8. Найдите длину отрезка OS.

7.Объём данного правильного тетраэдра равен 2 см 3 . Найдите объём правильного тетраэдра, ребро которого в 3 раза больше данного тетраэдра. Ответ дайте в см 3 .

В n-угольной правильной пирамиде a – сторона основания, к – боковое ребро, h – высота, d – апофема, V- объем, Sосн— площадь основания, Sп.п.-площадь полной поверхности

n a к h d Sосн Sбок Sп.п. V
А) 3 12см 15см
Б) 4 13дм 18дм
В) 3 18см 13см
Г) 4 6дм 6 дм

— площадь равностороннего (правильного) треугольника (Sосн — площадь основания правильной треугольной пирамиды)

Sосн=a 2 — (площадь основания правильной 4-х угольной пирамиды)

Sбок = , P-периметр, d— апофема

m=АК=ВЕ=СF медианы треугольника

BO:OE=2:1, BO=2/3BE, OE=1/3BE

–медиана (биссектриса, высота) равностороннего треугольника, а— сторона треугольника

где – площадь основания пирамиды, а -высота пирамиды

Усеченная пирамида

Усеченной пирамидой называется многогранник, у которого вершинами служат вершины основания и вершины ее сечения плоскостью, параллельной основанию.

Свойства усеченной пирамиды:

  • Основания усеченной пирамиды — подобные многоугольники.
  • Боковые грани усеченной пирамиды — трапеции.
  • Боковые ребра правильной усеченной пирамиды равны и одинаково наклонены к основанию пирамиды.
  • Боковые грани правильной усеченной пирамиды — равные между собой равнобедренные трапеции и одинаково наклонены к основанию пирамиды.
  • Двугранные углы при боковых ребрах правильной усеченной пирамиды равны.

Площадь поверхности и объём усеченной пирамиды

Пусть — высота усеченной пирамиды, и — периметры оснований усеченной пирамиды, и — площади оснований усеченной пирамиды, — площадь боковой поверхности усеченной пирамиды, — площадь полной поверхности усеченной пирамиды, — объем усеченной пирамиды. Тогда имеют место следующие соотношения:

.

Если все двугранные углы при основании усеченной пирамиды равны , а высоты всех боковых граней пирамиды равны , то

Источник

Математика. Объем усеченной пирамиды.

Пирамидой называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а остальные грани (боковые) – треугольники, имеющие общую вершину (вершину пирамиды) – точку пересечения отрезков (боковых ребер), соединяющих ее с вершинами основания.

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.

В зависимости от многоугольника, являющегося основанием, пирамида может быть:

треугольной (тетраэдром, или четырехгранником),

шестиугольной и т.д., n-угольной.

Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник, а ее высота проходит через центр основания. Все боковые ребра правильной пирамиды равны; все боковые грани — равнобедренные треугольники.

Читайте также:  Champion lm5127 объем масла

Высота боковой грани правильной пирамиды называется апофемой. Тело, ограниченное сечением, проведенным в пирамиде параллельно основанию, основанием пирамиды, и заключенной между ними боковой поверхностью, называется усеченной пирамидой.

Усеченная пирамида – это часть пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле : V=13H(S1+S2+S1⋅S2) , где H – высота усеченной пирамиды, S1 и S2 – площади ее оснований.

Вершина пирамиды – общая вершина всех боковых граней.

Боковые рёбра –стороны боковых граней, не лежащие в основании пирамиды.

Высота пирамиды – перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания.

Площадь полной поверхности пирамиды – сумма площадей всех её граней.

Площадь боковой поверхности пирамиды – сумма площадей её боковых граней.

Источник

Опорный конспект по геометрии «Усеченная пирамида»

Столичный центр образовательных технологий г. Москва

Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца

от 3 170 руб. 1900 руб.

Количество часов 300 ч. / 600 ч.

Успеть записаться со скидкой

Форма обучения дистанционная

Усеченная пирамида

Усеченной пирамидой называется многогранник, который отсекается при пересечении пирамиды плоскостью, параллельной ее основанию.

Высота усеченной пирамиды – перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания к плоскости другого основания.

АВСDEА 1 В 1 С 1 D 1 E 1усеченная пирамида

усеченной пирамиды

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды – сумма площадей всех ее боковых граней. Обозначают Sбок.

Площадь полной поверхности усеченной пирамиды – сумма площадей всех ее граней. Обозначают Sполн.

Усеченную пирамиду называют правильной, если она получена в результате сечения правильной пирамиды плоскостью, параллельной ее основанию. Апофема правильной усеченной пирамиды – высота ее боковой грани (равнобокой трапеции).

Высота правильной усеченной пирамиды – отрезок, соединяющий центры ее оснований.

S Р + Р

О1O – высота К 1 К – апофема

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляют по формуле:

где Р 1 и Р 2 – периметры оснований, l – апофема правильной усеченной пирамиды.

Усеченная пирамида

Усеченной пирамидой называется многогранник, который отсекается при пересечении пирамиды плоскостью, параллельной ее основанию.

Высота усеченной пирамиды – перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания к плоскости другого основания.

усеченной пирамиды

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды – сумма площадей всех ее боковых граней. Обозначают Sбок.

Площадь полной поверхности усеченной пирамиды – сумма площадей всех ее граней. Обозначают Sполн.

Усеченную пирамиду называют правильной, если она получена в результате сечения правильной пирамиды плоскостью, параллельной ее основанию. Апофема правильной усеченной пирамиды – высота ее боковой грани (равнобокой трапеции).

Высота правильной усеченной пирамиды – отрезок, соединяющий центры ее оснований.

О1O – высота К 1 К – апофема

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляют по формуле:

S Р + Р

где Р 1 и Р 2 – периметры оснований, l – апофема правильной усеченной пирамиды.

Читайте также:  Как измениться объем правильной пирамиды

Курс повышения квалификации

Смешанное обучение

Курс повышения квалификации

Геймификация как универсальная технология развития внутренней учебной мотивации школьников

  • Сейчас обучается 62 человека из 30 регионов

Курс повышения квалификации

Педагогическая поддержка ребенка в образовательной среде

«Визуализация данных с помощью таблиц диаграмм и графиков»

Акция до 31 августа

  • Опытные онлайн-репетиторы
  • Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ
  • По всем школьным предметам 1-11 класс

«Начало учебного года современного учителя»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Дистанционные курсы для педагогов

311 лекций для учителей,
воспитателей и психологов

Получите свидетельство
о просмотре прямо сейчас!

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 906 807 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Геометрия. Учебник 10-11 класс », Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.

34. Усеченная пирамида

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

  • 20.10.2021 1563
  • PDF 639.2 кбайт
  • 35 скачиваний
  • Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Мех Юлия Анатольевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

  • На сайте: 5 лет и 8 месяцев
  • Подписчики: 0
  • Всего просмотров: 8265
  • Всего материалов: 6

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 490 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

  • Опытные онлайн-репетиторы
  • Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ
  • По всем школьным предметам 1-11 класс

«Эффективное обучение иностранным языкам дошкольников: профессиональные и личностные компетенции преподавателя»

«Понятие и правовое регулирование работы с обращениями граждан»

«Игровые пособия в обучении: Круги Луллия»

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем