Геометрические приложения определенного интеграла площадь плоской фигуры объем тела вращения

Лекция по математике: Применение определённого интеграла к вычислению площадей плоских фигур, площади поверхности тела вращения

Лекция по математике. Применение определенного интеглала к вычислению площадей плоских фигур

Просмотр содержимого документа
«Лекция по математике: Применение определённого интеграла к вычислению площадей плоских фигур, площади поверхности тела вращения»

Лекция к занятию №23

Раздел 1. Математический анализ.

Тема 4.3 Применение определённого интеграла.

к вычислению площадей плоских фигур, площади поверхности тела вращения .

Тема занятия: Применение определённого интеграла к вычислению площадей плоских фигур, площади поверхности тела вращения. Вычисление объёмов тел вращения.

1. Применение определённого интеграла к вычислению площадей плоских фигур.

2. Применение определённого интеграла к вычислению площади поверхности тела вращения.

3. Вычисление объёмов тел вращения.

Применение определённого интеграла к вычислению площадей плоских фигур.

Мы уже знаем как вычислить площадь плоской фигуры с помощью определённого интеграла, а теперь рассмотрим все возможные варианты расположения фигур.

1.Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке [ a ; b ] функции f (x), осью Ох и прямыми х=а и х= b :

2.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f(x), и прямыми х=а, х= b :

3.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x) и :

4.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f(x), и осью Ох:

Отметим, что часто встречается задача нахождения интеграла, исходя из его геометрического смысла.

Покажем на примере, как решается такая задача.

Пример 1. Используя геометрический смысл интеграла вычислить определённые интегралы

и .

а)– равен площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями:.; х = 0, х = 2 и у = 0.

Преобразуем: в (х – 1) 2 + у 2 = 1

А это — верхняя половина окружности с центром Р(1;0) и радиусом R=1, поэтому:.

.

Ответ: .

б) Рассуждая аналогично, построим область, ограниченную графиками: у = arcsin x; x =-1 и x = 1.

Имеем: S = AB = 2 BC = (.

. Ответ:.

2. Применение определённого интеграла к вычислению площади поверхности тела вращения.

Представьте, что линия АВ вращается вокруг оси ОХ. В результате этого действия получается геометрическая фигура, называемая поверхностью вращения. Чтобы исключить двусмысленную трактовку, сделаем важное уточнение: с геометрической точки зрения наш тело вращения имеет бесконечно тонкую стенку и две поверхности с одинаковыми площадями – внешнюю и внутреннюю. Так вот, все дальнейшие выкладки подразумевают площадь только внешней поверхности.

Читайте также:  Геодезия расчета объема земляных работ

В прямоугольной системе координат площадь поверхности вращения рассчитывается по формуле:

или, если компактнее:

Вычислить площадь поверхности тела, полученного вращением параболы

у = вокруг оси Ох на промежутке от х =0 до х = 4.

вычислим площадь поверхности, образованной вращением верхней ветви у = вокруг оси абсцисс. Используем формулу:

.
В данном случае: у/ = ; тогда:

3. Вычисление объёмов тел вращения.

При помощи определенного интеграла можно вычислить объем того или иного тела, в частности, тела вращения.

Телом вращения называется тело, полученное вращением криволинейной трапеции вокруг ее основания (рис. 1, 2)

Объем тела вращения вычисляется по одной из формул:

(1)- если вращение криволинейной трапеции вокруг оси ОХ.

(2)- если вращение криволинейной трапеции вокруг оси ОУ.

Пример 1.Найти объем тела, получаемого вращением параболической трапеции, вокруг оси абсцисс y = , x = 4, y = 0.

Пример 2. Вычислить объем тела, образованного вращением лепестка, вокруг оси абсцисс y = x 2 , y 2 = x.

Построим графики функции. y = x 2 , y 2 = x. График y 2 = x преобразуем к виду y = .

Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями у = 2х — х 2 , у = 0 вокруг оси Ох.

Искомая плоская фигура заштрихована синим цветом, именно она и вращается вокруг оси Ох В результате вращения получается такое яйцевидное тело, которое симметрично относительно оси Ох.

Вычислим объем тела вращения, используя данную формулу:

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями 2х – у = 2, у = 0, х = 3.

Это пример для самостоятельного решения.

Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями у = 2х + 1, у = х + 4, х = 0 и х = 1.

Изобразим на чертеже плоскую фигуру, ограниченную линиями у = 2х + 1, у = х + 4, х = 0 и х = 1, не забывая при этом, что уравнение х = 0 задает ось Оу:

Искомая фигура заштрихована синим цветом. При её вращении вокруг оси Ох получается усечённый конус с вырезанным изнутри также усечённым конусом. Объем тела вращения вычислим как разность объемов тел.

Сначала рассмотрим фигуру, которая обведена красным цветом. При её вращении вокруг оси Ох получается усеченный конус. Обозначим объем этого усеченного конуса через V1.

Читайте также:  Как найти модуль ускорения поезда

Рассмотрим фигуру, которая обведена зеленым цветом. Если вращать данную фигуру вокруг оси , то получится тоже усеченный конус, только чуть поменьше. Обозначим его объем через V2.

И, очевидно, разность объемов V = V1 – V2 – в точности объем нашего тела вращения.

Используем стандартную формулу для нахождения объема тела вращения:

1) Фигура, обведенная красным цветом ограничена сверху прямой у = х + 4, поэтому:

2) Фигура, обведенная зеленым цветом ограничена сверху прямой: у = 2х + 1, поэтому:

3) Объем искомого тела вращения: V = V1-V2 = — (куб.единиц)

Посмотрите на плоскую фигуру в решённой задаче – она вроде бы невелика по площади, а объем тела вращения составляет чуть более 50 кубических единиц, что кажется слишком большим.

Вычислить объем тела, образованного вращением относительно оси Ох плоской фигуры, ограниченной линиями у = , , где 0 .

Это пример для самостоятельного решения. Обратите внимание, что все дела происходят в полосе 0 , иными словами, фактически даны готовые пределы интегрирования.(Для самостоятельного решения).

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1.Дайте определение определённого интеграла.

2. Сформулируйте геометрический смысл определённого интеграла.

3. Перечислите этапы вычисления определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

4. Запишите формулу для нахождения площади поверхности тела вращения с помощью определённого интеграла.

5. Запишите формулу для нахождения объёма поверхности тела вращения с помощью определё1нного интеграла.

Источник

Учебник. Геометрические приложения определенного интеграла

1. Площадь плоской фигуры.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной неотрицательной функцией f (x), осью абсцисс и прямыми x = a, x = b, определяется как S = ∫ a b f x d x .

Площадь криволинейной трапеции

Площадь фигуры, ограниченной функцией f (x), пересекающей ось абсцисс, определяется формулой S = ∑ i : f x ≥ 0 ∫ x i — 1 x i f x d x — ∑ i : f x 0 ∫ x i — 1 x i | f x | d x , где xi – нули функции. Другими словами, чтобы вычислить площадь этой фигуры, нужно разбить отрезок [a; b] нулями функции f (x) на части, проинтегрировать функцию f по каждому из получившихся промежутков знакопостоянства, сложить отдельно интегралы по отрезкам, на которых функция f принимает разные знаки, и вычесть из первого второе.

2. Площадь криволинейного сектора.

Площадь криволинейного сектора Рассмотрим кривую ρ = ρ (φ) в полярной системе координат, где ρ (φ) – непрерывная и неотрицательная на [α; β] функция. Фигура, ограниченная кривой ρ (φ) и лучами φ = α, φ = β, называется криволинейным сектором. Площадь криволинейного сектора равна S = 1 2 ∫ α β ρ 2 φ d φ .

3. Объем тела вращения.

Объем тела вращения

Читайте также:  3 1024 молекул газа при н у занимают объем

Пусть тело образовано вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной на отрезке [a; b] функцией f (x). Его объем выражается формулой V = π ∫ a b f 2 x d x .

К задаче о нахождении объема тела по площади поперечного сечения

Пусть тело заключено между плоскостями x = a и x = b, а площадь его сечения плоскостью, проходящей через точку x, – непрерывная на отрезке [a; b] функция σ (x). Тогда его объем равен V = ∫ a b σ x d x .

4. Длина дуги кривой.

Пусть задана кривая r → t = x t , y t , z t Тогда длина ее участка, ограниченного значениями t = α и t = β выражается формулой S = ∫ α β x ′ t 2 + y ′ t 2 + z ′ t 2 dt .

Длина дуги плоской кривой В частности, длина плоской кривой, задаваемой на координатной плоскости OXY уравнением y = f (x), a ≤ x ≤ b, выражается формулой S = ∫ a b 1 + f ′ x 2 dx .

5. Площадь поверхности вращения.

Площадь поверхности вращения Пусть поверхность задается вращением относительно оси OX графика функции y = f (x), a ≤ x ≤ b, и функция f имеет непрерывную производную на этом отрезке. Тогда площадь поверхности вращения определяется формулой Π = 2 π ∫ a b f x 1 + f ′ x 2 d x .

Источник

Экзаменационные вопросы по математике / 24. Геометрические приложения определённого интеграла

24. Геометрические приложения определённого интеграла: площади плоских фигур, длина кривых. Вычисление объёма тел, в том числе тел вращения.

Вычисление площадей плоских фигур:

Площадь криволинейной трапеции, расположенной «выше» оси абсцисс (ƒ(х) ≥ 0), равна соответствующему определенному интегралу:

Формула (41.1) получена путем применения метода сумм. Пусть криволинейная трапеция ограничена линиями у = ƒ(х) ≥ 0, х = а, х = b, у = 0 (см. рис. 174).

Для нахождения площади S этой трапеции проделаем следующие операции:

1. Возьмем произвольное х  [а; b] и будем считать, что S = S(x).

2. Дадим аргументу х приращение Δх = dx (х + Δх є [а; b]). Функция S = S(x) получит приращение ΔS, представляющее собой площадь «элементарной криволинейной трапеции» (на рисунке она выделена).

Дифференциал площади dS есть главная часть приращения ΔS при Δх → 0, и, очевидно, он равен площади прямоугольника с основанием dx и высотой у: dS = у • dx.

3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получаем

Отметим,что если криволинейная трапеция расположена «ниже» оси Ох (ƒ(х) 2.

Применяя формулу (41.6) объема тела по площади параллельных сечений, получаем

Если криволинейная трапеция ограничена графиком не прерывной функции х=φ(у) ≥ 0 и прямыми х = 0, у = с,

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем