Геометрические приложения определенного интеграла площадь фигуры длина дуги объем тела

Приложения определенного интеграла

Вы будете перенаправлены на Автор24

  • Telegram
  • Whatsapp
  • Вконтакте
  • Одноклассники
  • Email

Определенный интеграл (ОИ) широко используется в практических приложениях математики и физики.

В частности, в геометрии с помощью ОИ находят площади простых фигур и сложных поверхностей, объемов тел вращения и тел произвольной формы, длин кривых на плоскости и в пространстве.

В физике и теоретической механике ОИ применяют для вычисления статических моментов, масс и центров масс материальных кривых и поверхностей, для вычисления работы переменной силы по криволинейному пути и др.

Площадь плоской фигуры

Пусть некоторая плоская фигура в декартовой прямоугольной системе координат $xOy$ сверху ограничена кривой $y=y_ <1>\left(x\right)$, снизу — кривой $y=y_ <2>\left(x\right)$, а слева и справа вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$ соответственно. В общем случае площадь такой фигуры выражается с помощью ОИ $S=\int \limits _^\left(y_ <1>\left(x\right)-y_ <2>\left(x\right)\right)\cdot dx $.

Если же некоторая плоская фигура в декартовой прямоугольной системе координат $xOy$ справа ограничена кривой $x=x_ <1>\left(y\right)$, слева — кривой $x=x_ <2>\left(y\right)$, а снизу и сверху горизонтальными прямыми $y=c$ и $y=d$ соответственно, то площадь такой фигуры выражается с помощью ОИ $S=\int \limits _^\left(x_ <1>\left(y\right)-x_ <2>\left(y\right)\right)\cdot dy $.

Пусть плоская фигура (криволинейный сектор), рассматриваемая в полярной системе координат, образована графиком непрерывной функции $\rho =\rho \left(\phi \right)$, а также двумя лучами, проходящими под углами $\phi =\alpha $ и $\phi =\beta $ соответственно. Формула для вычисления площади такого криволинейного сектора имеет вид: $S=\frac<1> <2>\cdot \int \limits _<\alpha >^<\beta >\rho ^ <2>\left(\phi \right)\cdot d\phi $.

Длина дуги кривой

Если на отрезке $\left[\alpha ,\; \beta \right]$ кривая задана уравнением $\rho =\rho \left(\phi \right)$ в полярной системе координат, то длина её дуги вычисляется с помощью ОИ $L=\int \limits _<\alpha >^<\beta >\sqrt <\rho ^<2>\left(\phi \right)+\rho ‘^ <2>\left(\phi \right)> \cdot d\phi $.

Готовые работы на аналогичную тему

Если на отрезке $\left[a,\; b\right]$ кривая задана уравнением $y=y\left(x\right)$, то длина её дуги вычисляется с помощью ОИ $L=\int \limits _^\sqrt <1+y'^<2>\left(x\right)> \cdot dx $.

Если на отрезке $\left[\alpha ,\; \beta \right]$ кривая задана параметрически, то есть $x=x\left(t\right)$, $y=y\left(t\right)$, то длина её дуги вычисляется с помощью ОИ $L=\int \limits _<\alpha >^<\beta >\sqrt \left(t\right)+y’^ <2>\left(t\right)> \cdot dt $.

Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений

Пусть необходимо найти объем пространственного тела, координаты точек которого удовлетворяют условиям $a\le x\le b$, и для которого известны площади сечений $S\left(x\right)$ плоскостями, перпендикулярными оси $Ox$.

Формула для вычисления объема такого тела имеет вид $V=\int \limits _^S\left(x\right)\cdot dx $.

Объем тела вращения

Пусть на отрезке $\left[a,\; b\right]$ задана неотрицательная непрерывная функция $y=y\left(x\right)$, образующая криволинейную трапецию (КрТ). Если вращать эту КрТ вокруг оси $Ox$, то образуется тело, называемое телом вращения.

Вычисление объема тела вращения является частным случаем вычисления объема тела по известным площадям его параллельных сечений. Соответствующая формула имеет вид $V=\int \limits _^S\left(x\right)\cdot dx =\pi \cdot \int \limits _^y^ <2>\left(x\right)\cdot dx $.

Пусть некоторая плоская фигура в декартовой прямоугольной системе координат $xOy$ сверху ограничена кривой $y=y_ <1>\left(x\right)$, снизу — кривой $y=y_ <2>\left(x\right)$, где $y_ <1>\left(x\right)$ и $y_ <2>\left(x\right)$ — неотрицательные непрерывные функции, а слева и справа вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$ соответственно. Тогда объем тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси $Ox$, выражается ОИ $V=\pi \cdot \int \limits _^\left(y_<1>^ <2>\left(x\right)-y_<2>^ <2>\left(x\right)\right)\cdot dx $.

Пусть некоторая плоская фигура в декартовой прямоугольной системе координат $xOy$ справа ограничена кривой $x=x_ <1>\left(y\right)$, слева — кривой $x=x_ <2>\left(y\right)$, где $x_ <1>\left(y\right)$ и $x_ <2>\left(y\right)$ — неотрицательные непрерывные функции, а снизу и сверху горизонтальными прямыми $y=c$ и $y=d$ соответственно. Тогда объем тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси $Oy$, выражается ОИ $V=\pi \cdot \int \limits _^\left(x_<1>^ <2>\left(y\right)-x_<2>^ <2>\left(y\right)\right)\cdot dy $.

Площадь поверхности тела вращения

Пусть на отрезке $\left[a,\; b\right]$ задана неотрицательная функция $y=y\left(x\right)$ с непрерывной производной $y’\left(x\right)$. Эта функция образует КрТ. Если вращать эту КрТ вокруг оси $Ox$, то она сама образует тело вращения, а дуга КрТ — его поверхность. Площадь поверхности такого тела вращения выражается формулой $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _^y\left(x\right)\cdot \sqrt <1+y'^<2>\left(x\right)> \cdot dx $.

Предположим, что кривую $x=\phi \left(y\right)$, где $\phi \left(y\right)$ — заданная на отрезке $c\le y\le d$ неотрицательна функция, вращают вокруг оси $Oy$. В этом случае площадь поверхности образованного тела вращения выражается ОИ $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _^\phi \left(y\right)\cdot \sqrt <1+\phi '^<2>\left(y\right)> \cdot dy $.

Физические приложения ОИ

  1. Для вычисления пройденного пути в момент времени $t=T$ при переменной скорости движения $v=v\left(t\right)$ материальной точки, которая начала движение в момент времени $t=t_ <0>$, используют ОИ $S=\int \limits _ >^v\left(t\right)\cdot dt $.
  2. Для вычисления работы переменной сили $F=F\left(x\right)$, приложенной к материальной точке, перемещающейся по прямолинейному пути вдоль оси $Ox$ от точки $x=a$ до точки $x=b$ (направление действия силы совпадает с направлением движения) используют ОИ $A=\int \limits _^F\left(x\right)\cdot dx $.
  3. Статические моменты относительно координатных осей материальной кривой $y=y\left(x\right)$ на промежутке $\left[a,\; b\right]$ выражаются формулами $M_ =\rho \cdot \int \limits _^y\left(x\right)\cdot \sqrt <1+y'^<2>\left(x\right)> \cdot dx $ и $M_ =\rho \cdot \int \limits _^x\cdot \sqrt <1+y'^<2>\left(x\right)> \cdot dx $, где линейная плотность $\rho $ этой кривой считается постоянной.
  4. Центр масс материальной кривой — это точка, в которой условно сосредоточена вся её масса таким образом, что статические моменты точки относительно координатных осей равны соответствующим статическим моментам всей кривой в целом.

Нужны еще материалы по теме статьи?

Воспользуйся новым поиском!

Найди больше статей и в один клик создай свой список литературы по ГОСТу

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 25.12.2021

Источник

Геометрические приложения определенного интеграла площадь фигуры длина дуги объем тела

Пусть функция y = f ( x ) определена на отрезке [ a ; b ], a b . Выполним ряд следующих действий.

1. С помощью точек разобьем отрезок [ a ; b ] оси 0 x на n частичных отрезков

2. В каждом частичном отрезке выберем произвольную точку и вычислим значение функции в ней, т. е. величину f ( ci ).

4. Составим сумму Sn всех таких произведений:

Сумма (4.48) называется интегральной суммой для функции y = f ( x ) на отрезке [ a ; b ]. Обо­значим через γ длину наибольшего частичного отрезка:

1. Найдем предел интегральной суммы (4.48) при n →∞ так, что γ→0. Если при этом указанный предел I существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка [ a ; b ] на частичные отрезки, ни от выбора точек ci , то число I называется определенным интегралом функции y = f ( x ) на отрезке [ a ; b ] и обозначается

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f ( x ) – подынтегральной функцией, x – переменной интегрирования, отрезок [ a ; b ] – областью (отрезком) интегрирования.

Фигуру, ограниченную кривой y = f ( x ), отрезком [ a ; b ] оси 0 x , прямыми x = a и x = b , называют криволинейной трапецией. В отдельных случаях может f ( a )=0 или f ( b )=0 и тогда соответствующая сторона трапеции стягивается в точку.

Функция y = f ( x ), для которой на отрезке [ a ; b ] существует определенный интеграл , называется интегрируемой на этом отрезке. Сформулируем теорему существования определенного интеграла.

Теорема 4.4 (Коши). Если функция y = f ( x ) непрерывна на отрезке [ a ; b ], то определенный интеграл существует

Примечание. Непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости. Однако определенный интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций, в частности, для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное число точек разрыва

Укажем некоторые основные свойства определенного интеграла.

1. Определенный интеграл не зависит от того, по какой переменной он

вычисляется, то есть

2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

3. Для любого действительного числа c :

4. Если c – постоянное число и функция y = f ( x ) интегрируема на отрезке [ a ; b ], то

5. Если функции f 1 ( x ) и f 2 ( x ) интегрируемы на отрезке [ a ; b ], то их с умма также интегрируема на этом отрезке и имеет место равенство:

6. Если функция y = f ( x ) интегрируема на отрезке [ a ; b ] и то

9. Пусть функция y = f ( x ) непрерывна на отрезке [ a ; b ], симметричном относительно точки x= 0 , тогда

(4.52)

Теорема 4.5 (Ньютона­–Лейбница). Если функция y = f ( x ) непрерывна на отрезке [ a ; b ] и F ( x ) – какая–либо ее первообразная на [ a ; b ], то имеет место формула

Пример 4.17. Вычислить определенный интеграл

Решение. Используя формулы (4.7) и (4.53), получим:

Пример 4.18. Вычислить определенный интеграл

Решение. Используя формулы (4.7), (4.36), (4.50) и (4.53), получим:

Примечание. Как видно из примера 4.18, при вычислении определенного интеграла методом подстановки, нет необходимости возвращаться к первоначальной переменной (осуществлять обратную замену). Основываясь на первом свойстве определенного интеграла, его можно вычислить через введенную переменную. При этом находят пределы интегрирования для новой переменной, подставляя в формулу замены пределы интегрирования первоначальной переменной

Рассмотрим основные геометрические и физические приложения определенного интеграла.

1. Вычисление площадей плоских фигур

В прямоугольных координатах площадь криволинейной трапеции, расположенной «выше» оси абсцисс ( f ( x )≥ 0), равна соответствующему определенному интегралу (рис. 4.1):

Если криволинейная трапеция расположена «ниже» оси 0 x ( f ( x )

Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то прямыми, параллельными оси 0 y , ее следует разбить на части так, чтобы можно было бы применить уже известные формулы.

Если криволинейная трапеция ограничена прямыми y = c и y = d , осью 0 y и непрерывной кривой , то ее площадь находится по формуле

Пример 4.19. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами и (рис. 4.2).

Решение. Найдем абсциссы точек пересечения заданных парабол. Для этого приравняем правые части их уравнений:

Отсюда получаем квадратное уравнение с корнями x 1 =1 и , представляющими собой пределы интегрирования.

Для вычисления искомой площади воспользуемся формулой (4.56), где f 1 ( x ), f 2 ( x ) – уравнения парабол, ограничивающих фигуру

Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически , где параметр , прямыми x = a и x = b и осью 0 x , то площадь ее находится по формуле

Площадь S криволинейного сектора, то есть плоской фигуры, ограниченной непрерывной линией r = r (φ) и двумя лучами φ = α и φ = β (α r и φ – полярные координаты (рис. 4.3), равна:

Пример 4.20. Вычислить площадь фигуры, ограниченной «трёхлепестковой розой» (рис. 4.4).

Решение. Сначала по формуле (4.58) найдем всей площади искомой фигуры, представляющую собой площадь половины лепестка «розы»

2. Вычисление длины дуги плоской кривой

Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая AB , уравнение которой y = f ( x ), где a x b .

Под длиной дуги понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина ее наибольшего звена стремится к нулю. Если функция y = f ( x ) и ее производная непрерывны на отрезке [ a ; b ], то кривя AB имеет длину, равную

Пусть кривая AB задана уравнением в полярных координатах r = r (φ), α φ β. Предположим, что непрерывны на отрезке [α;β]. Тогда длину AB можно вычислить по формуле:

Пример 4.21. Найти длину окружности радиуса R .

Решение. Сначала найдемдлины дуги окружности от точки (0; R ) до точки ( R ;0). Так как

Таким образом, длина окружности равна 2π R (единиц длины). Заметим, что данная формула часто применялась в школьном курсе математики, но принималась без доказательства

3. Вычисление объёмов тел

которая называется формулой объёма тела по площадям параллельных сечений (рис. 4.5).

Пусть вокруг оси 0 x вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией y = f ( x )≥0, отрезком a x b и прямыми x = a , x = b ( a b ). Полученное при этом тело, называется телом вращения (рис. 36). Сечение этого тела плос­костью, перпендикулярной оси 0 x , проведенной через произвольную точку x оси 0 x , есть круг с радиусом y = f ( x ). Следовательно, Применяя формулу (4.61), получаем формулу вычисления объёма тела вращения

Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции x ( y ) ≥ 0 и прямыми x =0, y = c , y = d ( c d ), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси 0 y , равен:

Пример 4.22. Найти объём шара радиуса R .

Решение. Шар может быть получен при вращении вокруг оси 0 x окружности радиуса R . Проинтегрируем уравнение окружности согласно формуле (4.62) от точки (– R ;0) до точки ( R ;0):

Решение. Найдем абсциссу точки пересечения параболы и прямой в первой координатной четверти. Для этого решим уравнение 8 x 2 = 6 x +14 или 4 x 2 +3 x –7=0. Легко убедиться, что , x 2=1. Первому координатному углу принадлежи т корень x 2=1.

Найдем теперь абсциссу точки пересечения прямой с осью 0 x , решив уравнение –6 x +14=0, откуда .

Таким образом, можно считать, что тело вращения ограничено при 0 ≤ x ≤ 1 поверхностью, образованной вращением параболы y =8 x 2 вокруг оси 0 x , а при – вращением прямой y =–6 x +14.

Искомый объём ищем по формуле

4. Вычисление площади поверхности вращения

Пусть кривая AB является графиком функции а функция y = f ( x ) и её производная непрерывны на этом отрезке (рис. 36). Тогда площадь S поверхности , образованной вращением кривой AB вокруг оси 0 x , равна:

Если кривая AB задана параметрическими уравнениями x = x ( t ), y = y ( t ), t 1tt 2, то формула для площади поверхности вращения принимает вид:

5. Вычисление несобственных интегралов

Пусть функция y = f ( x ) непрерывна на промежутке [ a ;+∞). Если существует конечный предел то его называют несобственным интегралом 1–го рода с бесконечным верхним пределом и обозначают

Пусть функция y = f ( x ) непрерывна на промежутке (–∞; b ]. Если существует конечный предел его также называют несобственным интегралом 1–го рода с бесконечным нижним пределом и обозначают
Таким образом, по определению

В этих случаях говорят, что несобственные интегралы 1–го рода сходятся. Если же указанные пределы (4.66) и (4.67) не существуют или они бесконечны, то говорят, что несобственные интегралы 1–го рода расходятся.

Несобственный интеграл 1–го рода с двумя бесконечными пределами интегрирования определяется формулой

где c – произвольное число. Интеграл левой части равенства (4.68) считается сходящимся лишь в том случае, когда сходятся оба интеграла правой части.

Пример 4.24. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их на сходимость:

следовательно, согласно (4.66) интеграл сходится.

2). По (4.67) имеем: интеграл расходится, так как последний предел не существует

Если функция f ( x ) ≥ 0 непрерывна на промежутке [ a ;+∞) и интеграл сходится, то он численно представляет собой площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции (рис. 4.7).

Пусть функция y = f ( x ) непрерывна на промежутке [ a ; b ) и имеет бесконечный разрыв при x = b . Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом 2–го рода и обозначают . Таким образом, по определению

Если интеграл правой части равенства (4.69) существует и конечен, то несобственный интеграл сходится. Если этот предел не существует или бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Аналогично, если функция y = f ( x ) терпит бесконечный разрыв в точке x = a , то также называют несобственным интегралом 2–го рода и полагают

(4.70)

Пример 4.25. Вычислить

Решение. При x =0 функция терпит бесконечный разрыв:
следовательно, по формуле (4.70) интеграл расходится

Если функция терпит разрыв во внутренней то чке с отрезка [ a ; b ], то несобственный интеграл 2–го рода от разрывной функции определяется формулой

Здесь интеграл левой части равенства (4.71) называется сходящимся, если оба несобственных интеграла правой части сходятся.

В том случае, когда f ( x )>0 и имеет разрыв в точке x = b , несобственный интеграл 2–го рода можно истолковать геометри­чески как площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции (рис. 4.8).

С помощью несобственных интегралов можно вычислять объёмы бесконечных тел вращения. Формулы в данном случае имеют вид, аналогичный (4.62) и (4.63).

6. Механические приложения определенного интеграла

Предположим, что материальная точка M перемещается вдоль оси 0 x под действием переменной силы, направленной параллельно этой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки M из положения x = a в положение x = b ( a b ), находится по формуле:

Пример 4.26. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,08 м, если сила 100 Н растягивает эту пружину на 0,01 м?

Решение. Пусть x м – растяжение пружины. Тогда по закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, пропорциональна этому растяжению с некоторым коэффициентом k , то есть F = kx . По условию задачи для растяжения x =0,01 необходима сила F =100 Н. Отсюда коэффициент пропорциональности и сила F =10000 x . Искомая работа на основании формулы (4.72) равна:

Если материальная точка перемещается по прямой с переменной скоростью V = V ( t ), то путь S , пройденный ею за промежуток времени от t 1 до t 2 , равен:

Допустим, что в жидкость погружена вертикально пластина, ограниченная линиями x = a , x = b , y 1 = f 1 ( x ) и y 2 = f 2 ( x ). Для нахождения давления P жидкости на эту пластину используют формулу:

где g – ускорение свободного падения, γ – плотность жидкости.

Пример 4.27. Определить величину давления воды на полукруг (рис. 4.9), вертикально погруженный в жидкость, если его радиус равен R = 0,2 м, а центр О находится на свободной поверхности воды .

Решение . Воспользуемся формулой (4.74) для вычисления давления жидкости на вертикальную пластину. По условию задачи пластина ограничена линиями:

Статическим моментом Sx системы материальных точек относительно оси 0х называется сумма произведений масс этих точек на их ординаты:

Аналогично определяется статический момент Sy этой системы относительно оси 0 y :

Пусть y = f ( x ) ( a x b ) – это уравнение однородной (с постоянной линейной плотностью γ = const ) материальной кривой . Статический момент Sx кривой относительно оси 0 x равен:

Аналогично определяется статический момент Sy этой кривой относительно оси 0 y :

Центром тяжести материальной плоской кривой называется точка плоскости, обладающая следующим свойством: если в этой точке сосредоточить всю массу m заданной кривой, то статический момент этой точки относительно любой координатной оси будет равен статическому моменту всей кривой y = f ( x ) относительно той же оси. Обозначим через центр тяжести кривой AB . Тогда координаты центра тяжести вычисляются по формулам:

Пример 4.28. Найти центр тяжести однородной дуги окружности , расположенной в первой координатной четверти.

Решение. Очевидно, длина указанной дуги окружности равна , то есть Найдем статический момент ее относительно оси 0 x . Так как уравнение дуги имеет вид , плотность γ = const , то и

Следовательно, Так как данная дуга симметрична относительно биссектрисы первого координатного угла, то Итак, центр тяжести имеет координаты

Будем считать, что поверхностная плотность пластины постоянна (γ = const ). Тогда статические моменты плоской фигуры относительно осей координат соответственно равны:

По аналогии с плоской кривой получаем, обозначив координаты центра тяжести плоской фигуры (пластины) через , что Отсюда:

Пример 4.29. Определить координаты центра тяжести однородного сегмента параболы y 2 = 4 x , отсекаемого прямой x = 4.

Решение. В данном случае , поэтому согласно формулам (4.81) получим:

Очевидно (ввиду симметрии фигуры относительно оси Ox ), что yc =.

7. Экономическое приложение определенного интеграла

Рассмотрим одну из многочисленных задач экономики, решаемых с помощью определенного интегрирования.

Пусть функция z = f ( x ) описывает изменение производительности труда некоторого производства с течением времени. Тогда объём продукции , произведенной за период времени [ t 1 ; t 2 ] , вычисляется по формуле:

Пример 4.30. Найти объём сливочного масла (кг), изготовленного молокоцехом за год (306 семичасовых рабочих дней), если ежедневная производительность этого цеха задана функцией где t – время в часах.

Решение. Учитывая (4.82), найдем сначала объём V сливочного масла, произведенного молокоцехом за один семичасовой рабочий день (0 ≤ t ≤ 7):

Так как количество рабочих дней в году равно 306, то объём масла, произведенного за год, составит (кг) или V = 44 тонны 114 кг

Источник

Читайте также:  Вычислите объем бутана образующегося при действии натрия на 25 г хлорэтана
Поделиться с друзьями
Объясняем