Гармонические колебания перемещение скорость ускорение

Уравнение гармонических колебаний

п.1. Гармонические колебания как простейший периодический процесс

Например:
1) Вращение Луны вокруг Земли, Земли и других планет вокруг Солнца, Солнечной системы в целом вокруг центра Галактики;
2) Колебания атомов в молекуле, колебания электромагнитного поля;
3) Сокращения сердечной мышцы, колебания маятника часов, движение поршня в двигателе внутреннего сгорания, смена дня и ночи, приливы и отливы.

Например:
1) Период вращения минутной стрелки часов T=1 час
Период вращения Земли вокруг своей оси T=1 сут=24 ч
Период вращения Земли вокруг Солнца T=1 год=365 сут
2) Период колебаний атомов в двухатомных молекулах T=10 -14 с
Период вращения Солнца вокруг центра Галактики T=240 млн.лет.≈7,6·10 15 с

Если состояние системы характеризуется некоторой функцией от времени \(s=x(t)\), то для периодического процесса выполняется равенство: \(x(t+T)=x(t)\).
Простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функции \(sin⁡t\) и \(cos⁡t\) с периодом \(T=2\pi\).

Множитель \(\omega\) перед аргументом \(t\) тригонометрической функции сокращает её период в \(\omega\) раз (см. §8 данного справочника). Поэтому:

Например:
Запишем закон колебаний математического маятника – шарика на нити, если в начальный момент времени он был отклонен на 5 см, а затем отпущен. При подсчете за 10 с он совершил 20 колебаний.
Отклонение в начальный момент соответствует амплитудному значению A=5 см при \(t_0=0\), значит, будем описывать колебания по закону косинуса с начальной фазой \(\varphi_0=0\). По условию за t=10 с зафиксировано N=20 колебаний, откуда частота: \begin \nu=\frac Nt,\ \ \omega=2\pi\nu=2\pi\frac Nt\\ \omega=2\pi\cdot\frac<20><10>=4\pi\ \text <(рад/с)>\end Получаем закон колебаний: \(x(t)=5cos(4\pi t)\)

п.2. Перемещение, скорость и ускорение при гармоническом движении

Пусть \(x(t)\) — координата тела, участвующего в периодическом движении по закону: $$ x(t)=Acos⁡\omega t $$ Найдем скорость как первую производную от координаты: $$ v(t)=x'(t)=-A\omega sin\omega t=A\omega cos⁡\left(\omega t+\frac\pi 2\right) $$ Мы видим, что колебания скорости происходят с той же частотой, что и колебания координаты, но опережают их по фазе на \(\frac\pi 2\). Амплитудное значение скорости: $$ v_m=A\omega $$ Найдем ускорение как первую производную от скорости (и соответственно, вторую производную от координаты): $$ a(t)=v'(t)=x»(t)=-A\omega^2 cos\omega t=A\omega^2 cos⁡(\omega t+\pi) $$ Колебания ускорения также происходят с той же частотой, опережая колебания скорости на \(\frac\pi 2\) и колебания координаты на \(\pi\). Амплитудное значение ускорения: $$ a_m=A\omega^2 $$ Например:
При A=2 и \(\omega=\frac12\) получаем такие синусоиды:

Из уравнения для ускорения получаем: $$ x»(t)=-A\omega^2cos\omega t=-\omega^2(Acos\omega t)=-\omega^2 x(t) $$ Откуда следует:

Решением этого уравнения в общем виде будут: $$ x(t)=Asin⁡(\omega t+\varphi_0)\ \text<или>\ x(t)=A cos⁡(\omega t+\varphi_0) $$ Для каждой из систем физический смысл \(x(t)\) и \(\omega\) будет разным.

п.3. Примеры

Пример 1. Получите уравнение гармонических колебаний для горизонтального пружинного маятника с массой m и жесткостью пружины k. Чему равна циклическая частота этих колебаний?

Горизонтальный пружинный маятник – это грузик массой m, прикрепленный к пружине жесткостью k. Грузик может перемещаться в горизонтальном направлении без трения.

По вертикали на грузик действую сила тяжести и реакция опоры, равнодействующая которых равна нулю.
По горизонтали на грузик действует только сила упругости: \(F=-k\cdot x(t)\)
Самое время вспомнить о втором законе Ньютона. Сила, действующая на грузик, приводит его в движение с ускорением a: \begin F=ma=m\cdot x»(t)\\ m\cdot x»(t)=-k\cdot x(t) \end Уравнение движения грузика: $$ x»(t)+\frac km x(t)=0 $$ что является уравнением гармонических колебаний с частотой: \(\omega=\sqrt<\frac km>\)
Общее решение уравнения: \(x(t)=Acos\left(\sqrt<\frac km>+\varphi_0\right)\)
Амплитудные значения скорости и ускорения: $$ v_m=A\sqrt<\frac km>,\ \ a_m=A\frac km $$ Ответ: \(\omega=\sqrt<\frac km>\)

Пример 2. Получите уравнение гармонических колебаний для малых углов отклонений математического маятника на нити длиной l при ускорении свободного падения g. Чему равна циклическая частота этих колебаний?

Математический маятник – это шарик, который можно считать материальной точкой, на длинной невесомой нерастяжимой нити длиной l в поле тяготения с ускорением свободного падения g.

Пример 3. Получите уравнение гармонических колебаний для L-контура.
Чему равна циклическая частота этих колебаний?

LC-контур – это электрическая цепь, состоящая из катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью C.
Модель является идеальной, т.к. предполагает, что в цепи полностью отсутствует активное сопротивление R, и колебания не затухают со временем.

Напряжение на конденсаторе \(U_C(t)=\frac\). Ток, протекающий через катушку, создает ЭДС \(\varepsilon_L(t)=-L\frac<\triangle I><\triangle t>\). При переходе к пределу \(\triangle t\rightarrow 0\) получаем производную \(\varepsilon_L(t)=-LI'(t)\). По второму закону Кирхгофа для замкнутого контура: \begin U_c(t)=\varepsilon_L(t)\Rightarrow \frac=-LI'(t)\Rightarrow \frac+LI'(t)=0 \end Вспомним, что \(Q'(t)=I(t)\) – ток равен производной от заряда по времени.
Тогда первая производная от тока равна второй производной от заряда \(I'(t)=Q»(t)\).
\begin \frac+LQ»(t)=0 \end Получаем уравнение гармонических колебаний: $$ Q»(t)=\frac<1>Q(t)=0,\ \ \omega=\frac<1><\sqrt> $$ Общее решение уравнения: \(Q(t)=Q_m cos\left(\frac<1><\sqrt>t+\varphi_0\right)\)
Напряжение на конденсаторе: $$ U_C(t)=\frac=\fraccos\left(\frac<1><\sqrt>t+\varphi_0\right) $$ Амплитудное значение напряжения: \(U_m=\frac\)
Ток как скорость изменения заряда: $$ I(t)=Q'(t)=-\frac<\sqrt>sin\left(\frac<1><\sqrt>t+\varphi_0\right)=\frac<\sqrt>cos\left(\frac<1><\sqrt>t+\varphi_0+\frac\pi 2\right) $$ Амплитудное значение тока: \(I_m=\frac<\sqrt>\)
Ток опережает колебания заряда и напряжения на \(\frac\pi 2\)

Читайте также:  1с номенклатура вес объем

Источник

Гармонические колебания перемещение скорость ускорение

В технике и в окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими (или почти периодическими ) процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными . Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям. Например, колебания тока в электрической цепи и колебания математического маятника могут описываться одинаковыми уравнениями. Общность колебательных закономерностей позволяет рассматривать колебательные процессы различной природы с единой точки зрения.

Механическими колебаниями называются периодические (или почти периодические) изменения физической величины, описывающей механическое движение (скорость, перемещение, кинетическая и потенциальныая энергия и т. п.).

Если в какой-либо точке среды, в которой близко расположенные атомы или молекулы испытывают силовое воздействие, возбужден процесс механических колебаний, то этот процесс будет с конечной скоростью, зависящей от свойств среды, распространяться от точки к точке. Так возникают механические волны . Примерами такого процесса являются звуковые волны в воздухе.

Как и колебания, волновые процессы различной физической природы (звук, электромагнитные волны, волны на поверхности жидкости и т. д.) имеют много общего. Распространение волн различной физической природы можно описывать с помощью одинаковых математических уравнений. В этом проявляется единство материального мира.

Механические колебания


2.1. Гармонические колебания

Наряду с поступательными и вращательными движениями тел в механике значительный интерес представляют и колебательные движения. Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени. Закон движения тела, совершающего колебания, задается с помощью некоторой периодической функции времени . Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени.

Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник (рис. 2.1.1).

Рисунок 2.1.1.

Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными . Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными (см. §2.5).

Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания , которые описываются уравнением

m cos .

Здесь – смещение тела от положения равновесия, m – амплитуда колебаний, т. е. максимальное смещение от положения равновесия, – циклическая или круговая частота колебаний, – время. Величина, стоящая под знаком косинуса называется фазой гармонического процесса. При , поэтому называют начальной фазой . Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний . Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний :

Частота колебаний показывает, сколько колебаний совершается за . Единица частоты – герц (). Частота колебаний связана с циклической частотой и периодом колебаний соотношениями:

На рис. 2.1.2 изображены положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить экспериментально при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света ( стробоскопическое освещение ). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.

Рисунок 2.1.2.

Рис. 2.1.3 иллюстрирует изменения, которые происходят на графике гармонического процесса, если изменяются либо амплитуда колебаний m, либо период (или частота ), либо начальная фаза .

Рисунок 2.1.3.

При колебательном движении тела вдоль прямой линии (ось ) вектор скорости направлен всегда вдоль этой прямой. Скорость движения тела определяется выражением

В математике процедура нахождения предела отношения при называется вычислением производной функции по времени и обозначается как или как или, наконец, как . Для гармонического закона движения Вычисление производной приводит к следующему результату:

Появление слагаемого в аргументе косинуса означает изменение начальной фазы. Максимальные по модулю значения скорости m достигаются в те моменты времени, когда тело проходит через положения равновесия (). Аналогичным образом определяется ускорение тела при гармонических колебаниях:

следовательно, ускорение равно производной функции по времени , или второй производной функции . Вычисления дают:

Знак минус в этом выражении означает, что ускорение всегда имеет знак, противоположный знаку смещения , и, следовательно, по второму закону Ньютона сила, заставляющая тело совершать гармонические колебания, направлена всегда в сторону положения равновесия ().

На рис. 2.1.4 приведены графики координаты, скорости и ускорения тела, совершающего гармонические колебания.

Источник

Механические колебания и волны

Механические колебания – периодически повторяющееся перемещение материальной точки, при котором она движется по какой-либо траектории поочередно в двух противоположных направлениях относительно положения устойчивого равновесия.

Отличительными признаками колебательного движения являются:

  • повторяемость движения;
  • возвратность движения.

Для существования механических колебаний необходимо:

  • наличие возвращающей силы – силы, стремящейся вернуть тело в положение равновесия (при малых смещениях от положения равновесия);
  • наличие малого трения в системе.

Механические волны – это процесс распространения колебаний в упругой среде.

Виды волн

  • Поперечная – это волна, в которой колебание частиц среды происходит перпендикулярно направлению распространения волны.

Поперечная волна представляет собой чередование горбов и впадин.
Поперечные волны возникают вследствие сдвига слоев среды относительно друг друга, поэтому они распространяются в твердых телах.

  • Продольная – это волна, в которой колебание частиц среды происходит в направлении распространения волны.

Продольная волна представляет собой чередование областей уплотнения и разряжения.
Продольные волны возникают из-за сжатия и разряжения среды, поэтому они могут возникать в жидких, твердых и газообразных средах.

Важно!
Механические волны не переносят вещество среды. Они переносят энергию, которая складывается из кинетической энергии движения частиц среды и потенциальной энергии ее упругой деформации.

Гармонические колебания

Гармонические колебания – простейшие периодические колебания, при которых координата тела меняется по закону синуса или косинуса:

где ​ \( x \) ​ – координата тела – смещение тела от положения равновесия в данный момент времени; ​ \( A \) ​ – амплитуда колебаний; ​ \( \omega t+\varphi_0 \) ​ – фаза колебаний; ​ \( \omega \) ​ – циклическая частота; ​ \( \varphi_0 \) ​ – начальная фаза.

Если в начальный момент времени тело проходит положение равновесия, то колебания являются синусоидальными.

Если в начальный момент времени смещение тела совпадает с максимальным отклонением от положения равновесия, то колебания являются косинусоидальными.

Скорость гармонических колебаний
Скорость гармонических колебаний есть первая производная координаты по времени:

где ​ \( v \) ​ – мгновенное значение скорости, т. е. скорость в данный момент времени.

Амплитуда скорости – максимальное значение скорости колебаний, это величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Ускорение гармонических колебаний
Ускорение гармонических колебаний есть первая производная скорости по времени:

где ​ \( a \) ​ – мгновенное значение ускорения, т. е. ускорение в данный момент времени.

Амплитуда ускорения – максимальное значение ускорения, это величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Если тело совершает гармонические колебания, то сила, действующая на тело, тоже изменяется по гармоническому закону:

где ​ \( F \) ​ – мгновенное значение силы, действующей на тело, т. е. сила в данный момент времени.

Амплитуда силы – максимальное значение силы, величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Тело, совершающее гармонические колебания, обладает кинетической или потенциальной энергией:

где ​ \( W_k \) ​ – мгновенное значение кинетической энергии, т. е. кинетическая энергия в данный момент времени.

Амплитуда кинетической энергии – максимальное значение кинетической энергии, величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

При гармонических колебаниях каждую четверть периода происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно.
В положении равновесия:

  • потенциальная энергия равна нулю;
  • кинетическая энергия максимальна.

При максимальном отклонении от положения равновесия:

  • кинетическая энергия равна нулю;
  • потенциальная энергия максимальна.

Полная механическая энергия гармонических колебаний
При гармонических колебаниях полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий в данный момент времени:

Важно!
Следует помнить, что период колебаний кинетической и потенциальной энергий в 2 раза меньше, чем период колебаний координаты, скорости, ускорения и силы. А частота колебаний кинетической и потенциальной энергий в 2 раза больше, чем частота колебаний координаты, скорости, ускорения и силы.

Графики зависимости кинетической, потенциальной и полной энергий всегда лежат выше оси времени.

Если сила сопротивления отсутствует, то полная энергия сохраняется. График зависимости полной энергии от времени есть прямая, параллельная оси времени (в отсутствие сил трения).

Амплитуда и фаза колебаний

Амплитуда колебаний – модуль наибольшего смещения тела от положения равновесия.
Обозначение – ​ \( A\, (X_) \) ​, единицы измерения – м.

Фаза колебаний – это величина, которая определяет состояние колебательной системы в любой момент времени.
Обозначение – ​ \( \varphi \) ​, единицы измерения – рад (радиан).

Фаза колебаний – это величина, стоящая под знаком синуса или косинуса. Она показывает, какая часть периода прошла от начала колебаний.
Фаза гармонических колебаний в процессе колебаний изменяется.
​ \( \varphi_0 \) ​ – начальная фаза колебаний.
Начальная фаза колебаний – величина, которая определяет положение тела в начальный момент времени.

Важно!
Путь, пройденный телом за одно полное колебание, равен четырем амплитудам.

Период колебаний

Период колебаний – это время одного полного колебания.
Обозначение – ​ \( T \) ​, единицы измерения – с.

Период гармонических колебаний – постоянная величина.

Частота колебаний

Частота колебаний – это число полных колебаний в единицу времени.
Обозначение – ​ \( \nu \) ​, единицы времени – с -1 или Гц (Герц).

1 Гц – это частота такого колебательного движения, при котором за каждую секунду совершается одно полное колебание:

Период и частота колебаний – взаимно обратные величины:

Циклическая частота – это число колебаний за 2π секунд.
Обозначение – ​ \( \omega \) ​, единицы измерения – рад/с.

Свободные колебания (математический и пружинный маятники)

Свободные колебания – колебания, которые совершает тело под действием внутренних сил системы за счет начального запаса энергии после того как его вывели из положения устойчивого равновесия.

Условия возникновения свободных колебаний:

  • при выведении тела из положения равновесия должна возникнуть сила, стремящаяся вернуть его в положение равновесия;
  • силы трения в системе должны быть достаточно малы. При наличии сил трения свободные колебания будут затухающими.

При наличии сил трения свободные колебания будут затухающими.
Затухающие колебания – это колебания, амплитуда которых с течением времени уменьшается.

Математический маятник – это материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити.

Период колебаний математического маятника:

Частота колебаний математического маятника:

Циклическая частота колебаний математического маятника:

Максимальное значение скорости колебаний математического маятника:

Максимальное значение ускорения колебаний математического маятника:

Период свободных колебаний математического маятника, движущегося вверх с ускорением или вниз с замедлением:

Период свободных колебаний математического маятника, движущегося вниз с ускорением или вверх с замедлением:

Период свободных колебаний математического маятника, горизонтально с ускорением или замедлением:

Мгновенное значение потенциальной энергии математического маятника, поднявшегося в процессе колебаний на высоту ​ \( h \) ​, определяется по формуле:

где ​ \( l \) ​ – длина нити, ​ \( \alpha \) ​ – угол отклонения от вертикали.

Пружинный маятник – это тело, подвешенное на пружине и совершающее колебания вдоль вертикальной или горизонтальной оси под действием силы упругости пружины.

Период колебаний пружинного маятника:

Частота колебаний пружинного маятника:

Циклическая частота колебаний пружинного маятника:

Максимальное значение скорости колебаний пружинного маятника:

Максимальное значение ускорения колебаний пружинного маятника:

Мгновенную потенциальную энергию пружинного маятника можно найти по формуле:

Амплитуда потенциальной энергии – максимальное значение потенциальной энергии, величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Важно!
Если маятник не является ни пружинным, ни математическим (физический маятник), то его циклическую частоту, период и частоту колебаний по формулам, применимым к математическому и пружинному маятнику, рассчитать нельзя. В данном случае эти величины рассчитываются из формулы силы, действующей на маятник, или из формул энергий.

Вынужденные колебания

Вынужденные колебания – это колебания, происходящие под действием внешней периодически изменяющейся силы.

Вынужденные колебания, происходящие под действием гармонически изменяющейся внешней силы, тоже являются гармоническими и незатухающими. Их частота равна частоте внешней силы и называется частотой вынужденных колебаний.

Резонанс

Резонанс – явление резкого возрастания амплитуды колебаний, которое происходит при совпадении частоты вынуждающей силы и собственной частоты колебаний тела.

​ \( v_0 \) ​ – собственная частота колебаний маятника.

На рисунке изображены резонансные кривые для сред с разным трением. Чем меньше трение, тем выше и острее резонансная кривая.

Явление резонанса учитывается при периодически изменяющихся нагрузках в машинах и различных сооружениях.
Также резонанс используется в акустике, радиотехнике и т. д.

Длина волны

Длина волны – это расстояние, на которое волна распространяется за один период, т. е. это кратчайшее расстояние между двумя точками среды, колеблющимися в одинаковых фазах.
Обозначение – ​ \( \lambda \) ​, единицы измерения – м.

Расстояние между соседними гребнями или впадинами в поперечной волне и между соседними сгущениями или разряжениями в продольной волне равно длине волны.

Скорость распространения волны – это скорость перемещения горбов и впадин в поперечной волне и сгущений или разряжений в продольной волне.

Звук – это колебания упругой среды, воспринимаемые органом слуха.

Условия, необходимые для возникновения и ощущения звука:

  • наличие источника звука;
  • наличие упругой среды между источником и приемником звука;
  • наличие приемника звука; • частота колебаний должна лежать в звуковом диапазоне;
  • мощность звука должна быть достаточной для восприятия.

Звуковые волны – это упругие волны, вызывающие у человека ощущение звука, представляющие собой зоны сжатия и разряжения, передающиеся на расстояние с течением времени.

Классификация звуковых волн:

  • инфразвук (​ \( \nu \) ​ \( \nu \) \( \nu \) > 20 000 Гц).

Скорость звука – это скорость распространения фазы колебания, т. е. области сжатия и разряжения среды.

Скорость звука зависит

  • от упругих свойств среды:

в воздухе – 331 м/с, в воде – 1400 м/с, в металле – 5000 м/с;

в воздухе при температуре 0°С – 331 м/с,
в воздухе при температуре +15°С – 340 м/с.

Характеристики звуковой волны

  • Громкость – это величина, характеризующая слуховые ощущения человека, зависящая от амплитуды колебаний в звуковой волне. Единицы измерения – дБ (децибел).
  • Высота тона – это величина, характеризующая слуховые ощущения человека, зависящая от частоты колебаний в звуковой волне. Чем больше частота, тем выше звук. Чем меньше частота, тем ниже звук.
  • Тембр – это окраска звука.

Музыкальный звук – это звук, издаваемый гармонически колеблющимся телом. Каждому музыкальному тону соответствует определенная длина и частота звуковой волны.
Шум – хаотическая смесь тонов.

Источник

Читайте также:  Как найти объем призмы прямоугольного параллелепипеда
Поделиться с друзьями
Объясняем