Дуги окружности заключенные между секущими

Окружность

Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.

Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Основные термины


Касательная

Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойства касательной


  1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Хорда

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Свойства хорд


  1. Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M , то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.

Свойства окружности


  1. Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку ( касательная ); иметь с ней две общие точки ( секущая ).
  2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
  3. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

Теорема о касательной и секущей

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC 2 = MA•MB .

Теорема о секущих

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

Углы в окружности

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.

Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Свойства углов, связанных с окружностью


  1. Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.

Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.

Длины и площади


  1. Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле:

Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле:

Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом ,измеренным в радианах, вычисляется по формуле:

Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в радиан вычисляется по формуле:

Вписанные и описанные окружности


Окружность и треугольник


  • центр вписанной окружности — точка пересечения биссектристреугольника, ее радиус r вычисляется по формуле:

где S — площадь треугольника, а — полупериметр;

центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, ее радиус R вычисляется по формуле:

здесь a, b, c — стороны треугольника, — угол, лежащий против стороны a , S — площадь треугольника;

  • центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы;
  • центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный.
  • Окружность и четырехугольники


    • около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:

    в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон:

    • около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;
    • около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне;
    • в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

    Источник

    Хорды и дуги

    Докажем ряд теорем, устанавливающих зависимость между хордами и их дугами в одной и той же окружности или в равных окружностях.

    При этом будем иметь в виду дуги, меньшие полуокружности.

    Теорема 1. Равные дуги стягиваются равными хордами.

    Пусть дуга АВ равна дуге СК. Требуется доказать, что и хорда АВ равна хорде СК (рис. 314).

    Доказательство. Соединим концы хорд с центром окружности — точкой О. Полученные треугольники АОВ и КОС равны, так как имеют по две соответственно равные стороны (радиусы одной окружности) и по равному углу, заключённому между этими сторонами (эти углы равны, как центральные, соответствующие равным дугам). Следовательно, АВ = СК.

    Теорема 2 (обратная). Равные хорды стягивают равные дуги.

    Пусть хорда АВ равна хорде СК. Требуется доказать, что дуга АВ равна дуге СК (рис. 314).

    Доказательство. Соединим концы хорд с центром окружности — точкой О. Полученные треугольники АОВ и КОС равны по трём соответственно равным сторонам. Следовательно, равны углы АОВ и СОК; но углы эти центральные, соответствующие дугам АВ и СК; из равенства этих углов следует равенство дуг: \(\breve <АВ>= \breve<СК>\).

    Теорема 3. Большая дуга стягивается и большей хордой.

    Пусть дуга АВ больше дуги СК (рис. 315).

    Требуется доказать, что хорда АВ больше хорды СК.

    Доказательство. Передвинем по окружности дугу СК так, чтобы точка К совместилась с точкой А, тогда точка С займёт положение С’ на дуге АВ между точками Aи В, дуга СК примет положение дуги АС’, а хорда СК примет положение хорды АС’. Проведём радиусы в точки A, В и С’. Опустим из центра О перпендикуляры ОЕ и ОD на хорды АВ и АС’. В треугольнике ОFE отрезок ОЕ — катет, а отрезок ОF — гипотенуза, поэтому OF > ОЕ, а потому и OD > OE.

    Рассмотрим теперь треугольники ОАD и ОАЕ. В этих треугольниках гипотенуза ОА общая, а катет ОЕ меньше катета ОD, тогда по следствию из теоремы Пифагора катет АЕ больше катета АD. Но эти катеты составляют половины хорд АВ и АС’, значит, и хорда АВ больше хорды АС’. Вследствие равенства хорд АС’ и СК получаем
    АВ > СК.

    Теорема 4 (обратная). Большая хорда стягивает и большую дугу.

    Пусть хорда А В больше хорды СК.

    Требуется доказать, что дуга АВ больше дуги СК (рис. 315). Между дугами АВ и СК может существовать только одно из трёх следующих соотношений:

    Но дуга AВ не может быть меньше дуги СК, так как тогда по прямой теореме хорда АВ была бы меньше хорды СК, а это противоречит условию теоремы.

    Дуга АВ не может быть равна дуге СК, так как тогда хорда АВ равнялась бы хорде СК, а это тоже противоречит условию. Следовательно, \(\breve <АВ>> \breve<СК>\).

    Свойство дуг, заключенных между параллельными хордами

    Теорема. Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

    Пусть хорда AB параллельна хорде СD (рис. 316).

    Требуется доказать, что \(\breve = \breve\). Проведём диаметр MN ⊥ AB. Так как CD || AB, то MN ⊥ CD.
    Перегнём чертёж по диаметру MN так, чтобы правая часть совпала с левой.

    Тогда точка В совпадёт с точкой А, так как они симметричны относительно оси MN (AB ⊥ MN по построению и AK = KB).

    Аналогично, точка D совпадёт с точкой С. Отсюда \(\breve = \breve\).

    Свойство дуг, заключённых между касательной и параллельной ей хордой

    Теорема. Дуги, заключённые между касательной и параллельной ей хордой, равны.

    Пусть касательная АВ и хорда СD параллельны. Точка Е — точка касания прямой АВ с окружностью О (рис. 320).

    Требуется доказать, что \(\breve = \breve\).

    Для доказательства соединим точку касания Е с центром круга.

    OE ⊥ AB, а так как СD || АВ, то OE ⊥ CD, а перпендикуляр к хорде, проведённый из центра той же окружности, делит стягиваемую ею дугу пополам.

    Следовательно, \(\breve = \breve\).

    Диаметр, перпендикулярный к хорде

    Теорема 1. Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею дуги пополам.

    Пусть диаметр AB перпендикулярен к хорде CD (черт. 312). Требуется доказать, что
    $$ CE = ED, \breve = \breve, \breve = \breve $$

    Соединим точки С и D с центром окружности О. В равнобедренном треугольнике СОD отрезок ЕО является высотой, проведённой из вершины О на основание CD; следовательно, ОЕ является и медианой и биссектрисой, т. е. СЕ = ЕD и ∠1 = ∠2. Но ∠1 и ∠2 суть центральные углы. Отсюда равны и соответствующие им дуги, а именно
    $$ \breve = \breve $$
    Дуги CA и ВА также равны между собой, как дополняющие равные дуги до полуокружности.

    Теорема 2 (обрaтная). Диаметр, проведённый через середину хорды, не проходящей через центр, перпендикулярен к ней и делит дуги, стягиваемые хордой, пополам.

    Пусть диаметр AB делит хорду CD пополам. Требуется доказать, что AB ⊥ CD,

    Соединим точки С и В с центром круга. Получим равнобедренный треугольник СОD, в котором ОК является медианой, а значит, и высотой. Следовательно, AB⊥CD, а отсюда (по теореме 1) следует, что
    $$ \breve = \breve; \breve = \breve $$

    Теорема 3 (обратная). Диаметр, проведённый через середину дуги, делит пополам хорду, стягивающую эту дугу, и перпендикулярен к этой хорде.

    Пусть диаметр AB делит дугу СВD пополам (черт. 313). Требуется доказать, что

    Соединим центр круга О с точками С и D. В равнобедренном треугольнике СОD отрезок ОК является биссектрисой угла СОD, так как по условию теоремы \(\breve\) = \(\breve\), поэтому ОК будет и медианой и высотой этого треугольника. Следовательно, диаметр AB проходит через середину хорды и перпендикулярен к ней.

    Источник

    Углы, связанные с окружностью

    Вписанные и центральные углы
    Углы, образованные хордами, касательными и секущими
    Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

    Вписанные и центральные углы

    Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

    Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

    Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

    Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

    Теоремы о вписанных и центральных углах

    Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

    Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
    около этого треугольника окружности.

    Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

    Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

    Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

    Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

    Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

    Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
    около этого треугольника окружности.

    Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

    Фигура Рисунок Теорема
    Вписанный угол
    Вписанный угол Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
    Вписанный угол Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
    Вписанный угол Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
    Вписанный угол Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
    Окружность, описанная около прямоугольного треугольника
    Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

    Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

    Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

    Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

    Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

    Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

    Фигура Рисунок Теорема Формула
    Угол, образованный пересекающимися хордами
    Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне круга
    Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касания
    Угол, образованный касательной и секущей
    Угол, образованный двумя касательными к окружности

    Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

    Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

    Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
    Формула:
    Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
    Формула:

    Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

    Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
    Формула:
    Формула:

    Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

    Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
    Формулы:

    Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

    Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

    Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

    Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

    Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

    Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

    В этом случае справедливы равенства

    и теорема 1 в этом случае доказана.

    Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

    В этом случае справедливы равенства

    что и завершает доказательство теоремы 1.

    Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

    Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

    Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

    что и требовалось доказать.

    Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

    Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

    Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

    что и требовалось доказать.

    Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

    Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

    Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

    что и требовалось доказать

    Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

    Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

    Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

    что и требовалось доказать.

    Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

    Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

    Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

    Источник

    Читайте также:  Какая форма брови подходит для прямоугольной формы лица
    Поделиться с друзьями
    Объясняем