Доказать что треугольник с вершинами является прямоугольным

Доказать что треугольник с вершинами является прямоугольным

Доказать, что треугольник с вершинами A(-3, -2), B(0, -1) и C(-2, 5) прямоугольный.

Известно, что треугольник является прямоугольным, если квадрат большей из его сторон равен сумме квадратов двух других сторон.

Найдем длины сторон нашего треугольника. Воспользуемся формулой

Подставляя в данную формулу исходные данные, находим длины сторон треугольника AB, BC и AC:

Из полученных данных нетрудно заметить, что квадрат наибольшей стороны AC действительно равен сумме двух других сторон.

Источник

Как доказать, что треугольник прямоугольный

Здравствуйте! Я к Вам снова с просьбой в помощи доказательства. В данном случае — я не могу понять как доказать, что треугольник прямоугольный. Даже дана задачка на эту тему. В треугольнике FCH проведена медиана HE , HE=FE=EC.Доказать что треугольник прямоугольный.

Здравствуйте.
Давайте сначала вспомним, какой треугольник называется прямоугольным. Так вот прямоугольным называется тот треугольник, угол которого равен .
Чтоб понять, как доказать, что треугольник прямоугольный, надо знать, каким свойствами он обладает. Ведь одного знания про угол бывает недостаточно. так как про это не всегда скажется в условии.
Так вот, прямоугольный треугольник обладает такими свойствами:

  1. Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы
  2. Медиана прямоугольного треугольника равна половины гипотенузы
  3. сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов
  4. Сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусов
  5. прямой угол всегда равен 90 градусов
  6. катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы
  7. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30 градусам
Читайте также:  Abcd трапеция доказать bc равно df

Давайте разберёмся с Вашей задачкой. Так как нам не сказано, какой это треугольник, то попробуем это доказать. Единственное, что мы знаем, так это то, что его медиана равна половине стороны. Теперь вспоминаем свойство прямоугольного треугольника, в котором проведена медиана. И мы знаем, что именно в прямоугольном треугольнике, медиана проведённая к гипотенузе равна половине гипотенузы. Так вот, это свойство у нас с вами выполняется и выходит, что сторона — гипотенуза, которую медиана делить пополам.
Так что, вот мы с Вами и доказали, что наш треугольник прямоугольный.

Источник

Прямоугольный треугольник, свойства, признаки и формулы

Прямоугольный треугольник, свойства, признаки и формулы.

Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90°).

Прямоугольный треугольник (понятие, определение):

Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90°).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Гипотенуза (с греч. ὑποτείνουσα – «натянутая») – это самая длинная сторона прямоугольного треугольника, противоположная прямому углу.

Стороны, прилегающие к прямому углу, называются катетами. Катет (с греч. κάθετος – «перпендикуляр, опущенный, отвесный») – одна из двух сторон прямоугольного треугольника, образующих прямой угол .

Для непрямоугольного треугольника гипотенуза и катеты не существуют.

Рис. 1. Прямоугольный треугольник

АВ, АС – катеты прямоугольного треугольника, ВС – гипотенуза прямоугольного треугольника, ∠ ВАС = 90°

Равнобедренный треугольник может быть прямоугольным (равнобедренным прямоугольным треугольником).

Равнобедренный прямоугольный треугольник — это треугольник, являющийся одновременно равнобедренным и прямоугольным. В этом треугольнике каждый острый угол равен 45°.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

Признаки равенства прямоугольных треугольников основаны и вытекают из общих признаков равенства треугольников.

1. Равенство по двум катетам.

Читайте также:  Биссектрисы углов параллелограмма пересекаются внутри него

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 2. Равенство прямоугольных треугольников по двум катетам

2. Равенство по катету и прилежащему острому углу.

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 3. Равенство прямоугольных треугольников по катету и прилежащему углу

3. Равенство по гипотенузе и острому углу.

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 4. Равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу

4. Равенство по гипотенузе и катету.

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 5. Равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету

5. Равенство по катету и противолежащему острому углу.

Если катет и противолежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 6. Равенство прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу

Свойства прямоугольного треугольника:

1. В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна 90°.

2. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30° , равен половине гипотенузы.

И наоборот, если в прямоугольном треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

Рис. 7. Прямоугольный треугольник с острым углом 30˚

3. Теорема Пифагора:

Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

c 2 = a 2 + b 2 ​​ ,

где a, b – катеты, c – гипотенуза.

Читайте также:  Как узнать внутренний диаметр трубы по длине окружности

4. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

И соответственно радиус описанной окружности (R) равен половине гипотенузы.

,

где c – гипотенуза.

Рис. 9. Прямоугольный треугольник и описанная окружность

5. В прямоугольном треугольнике медиана, падающая на гипотенузу, равна половине гипотенузы.

Рис. 10. Прямоугольный треугольник и медиана, падающая на гипотенузу

АМ – медиана прямоугольного треугольника, падающая на гипотенузу, АМ = ВМ = МС, АМ = ВС/2

6. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника подобные исходному.

Рис. 11. Прямоугольный треугольник и высота, проведенная из вершины прямого угла

АВ/ВС = АН/АС = ВН/АВ

Формулы прямоугольного треугольника:

Пусть a и b – длины катетов прямоугольного треугольника, с – длина гипотенузы прямоугольного треугольника, h – высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе (АН), R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 9, 11, 12).

Формулы сторон прямоугольного треугольника (a, b, c) по теореме Пифагора:

c 2 = a 2 + b 2 ,

a 2 = c 2 ​ – b 2 ,

b 2 = c 2 – a 2 ​.

Формула радиуса вписанной окружности (r):

.

Рис. 12. Прямоугольный треугольник и вписанная окружность

Формула радиуса описанной окружности (R):

.

Формулы площади (S) прямоугольного треугольника:

.

Формулы высоты (h)прямоугольного треугольника:

.

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем