Доказать что равные хорды равноудалены от центра окружности то они равны

Равные хорды

Выясним, какими свойствами обладают равные хорды и равные дуги.

Равные хорды равноудалены от центра окружности.

Дано : окр. (O;R), AB и CD — хорды,

Соединим центр окружности с концами хорд.

I. Рассмотрим треугольники AOB и COD.

1) AB=CD (по условию)

2) OA=OB=OC=OD (как радиусы).

Следовательно, ∆AOB = ∆COD (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠A=∠C.

II. Рассмотрим прямоугольные треугольники AOF и COK.

2) ∠A=∠C (по доказанному).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: OF=OK.

Что и требовалось доказать .

Если хорды равноудалены от центра окружности, то они равны.

Дано: окр. (O;R), AB и CD — хорды,

Соединим центр окружности с концами хорд.

I. Рассмотрим прямоугольные треугольники OKD и OFB.

1)OF=OK (по условию)

2)OD=OB (как радиусы).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

II. Рассмотрим треугольники AOB и COD.

Так как OA=OB=OC=OD (как радиусы), треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD и высотами OK и OF соответственно.

По свойству равнобедренного треугольника, OK и OF — медианы, то есть AF=BF, CK=DK, откуда AB=CD.

Что и требовалось доказать.

Равные хорды стягивают равные дуги.

Дано : окр. (O;R), AB и CD — хорды, AB=CD,

Соединим центр окружности с концами хорд.

Рассмотрим треугольники AOB и COD

1) AB=CD (по условию)

2) OA=OB=OC=OD (как радиусы).

Следовательно, ∆AOB = ∆COD (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠AOB=∠COD.

Значит и дуги, на которые опираются эти центральные углы, также равны: ∪AB=∪CD

Что и требовалось доказать .

Хорды, стягивающие равны дуги, равны.

Дано: окр. (O;R), AB и CD — хорды,

Соединим центр окружности с концами хорд.

Рассмотрим треугольники AOB и COD

Так как OA=OB=OC=OD (как радиусы), то треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD соответственно.

Так как ∪AB=∪CD (по условию), то ∠AOB=∠COD.

Читайте также:  Как узнать диаметр круга через длину окружности

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB=CD.

Источник

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Отрезки и прямые, связанные с окружностью
Свойства хорд и дуг окружности
Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Теорема о бабочке

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Фигура Рисунок Определение и свойства
Окружность
Круг
Радиус
Хорда
Диаметр
Касательная
Секущая
Окружность

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Круг

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Радиус

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Хорда

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Диаметр

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Касательная

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Секущая

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Свойства хорд и дуг окружности

Фигура Рисунок Свойство
Диаметр, перпендикулярный к хорде Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хорды Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хорды Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружности Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длины Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дуги У равных дуг равны и хорды.
Параллельные хорды Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хорды

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хорды

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длины

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дуги

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хорды

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Фигура Рисунок Теорема
Пересекающиеся хорды
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Пересекающиеся хорды
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Пересекающиеся хорды

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Тогда справедливо равенство

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Источник

Читайте также:  Прямоугольная форма для выпечки размер
Поделиться с друзьями
Объясняем