Доказать что через три точки проходит только одна окружность

Пусть нам даны три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой (см. рис.).

Соединим эти точки отрезками АВ и ВС. Чтобы найти точки равноудалённые от точек А и В разделим отрезок АВ пополам и через середину (точку М) проведём прямую перпендикулярную к АВ. Каждая точка этого перпендикуляра одинаково удалена от точек А и В.

Чтобы найти точки, равноудалённые от точек В и С, разделим отрезок ВС пополам и через его середину (точку N) проведемпрямую, перпендикулярную ВС. Каждая точка этого перпендикуляа одинаково удалена от точек В и С.

Точка О пересечения этих перпендикуляров будет находиться на одинаковом расстоянии от данных точек А, В и С (АО = ВО = СО). Если мы, приняв точку О за центр круга, радиусом, равным АО, проведём окружность, то она пройдёт через все данные точки А, В и С.

Точка О является единственной точкой, которая может служить центром окружности, проходящей через три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, так как два перпендикуляра к отрезкам АВ и ВС могут пересечься только в одной точке. Значит, задача имеет единственное решение.

Примечание. Если три точки А, В и С будут лежать на одной прямой, то задача не будет иметь решения, так как перпендикуляры к отрезкам АВ и ВС будут параллельны и не будет существовать точки, одинаково удаленной от точек А, В, С, т. е. точки, которая могла бы служить центром искомой окружности.

Если соединить отрезком точки А и С и середину этого отрезка (точку К) соединить с центром окружности О, то ОК будет перпендикулярна к АС (рис.), так как в равнобедренном треугольнике АОС ОК является медианой, поэтому ОК ⊥ АС.

Следствие. Три перпендикуляра к сторонам треугольника, проведённые через их середины пересекаются в одной точке.

Источник

Математика. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия

ГЕОМЕТРИЯ: Планиметрия

7. Окружность

Форма и положение окружности.

Теорема. Через три точки, не лежащие на одной прямой можно провести окружность и притом только одну.

Теорема. Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам.

1. Диаметр, проведённый через середину хорды, перпендикулярен этой хорде и делит дугу, стягиваемую ею, пополам.

2. Диаметр, проведённый через середину дуги, перпендикулярен хорде, стягивающей эту дугу, и делит её пополам.

Теорема. Дуги, заключённые между параллельными хордами равны.

Зависимость между дугами и хордами.

Теоремы. В одном круге ( или равных кругах) :

1) если дуги равны, то стягивающие их хорды равны,

2) если хорды равны, то стягиваемые ими дуги равны.

Доказательство. 1) Пусть дуга АВ равна дуге CD . Проведя радиусы ОА, ОВ, ОС и OD, мы получим,два треугольника, у которых две стороны одного равны двум сторонам другого и углы между ними равны. Следовательно, эти треугольники равны и AB=CD.

2) Если хорды АВ и CD равны, треугольники АОВ и COD равны, имея три соответственно равные стороны, а потому Р AOB= Р COD. Если же центральные углы равны, то и соответствующие им дуги равны.

Теоремы. В одном круге ( или равных кругах) :

1) если хорды равны, то они одинаково удалены от центра,

2) если хорды одинаково удалены от центра, то они равны.

Относительное положение прямой и окружности. Прямая и окружность могут находиться только в трёх относительных положениях.

Читайте также: Как сшить прямоугольные чехлы
1. Расстояние от центра до прямой больше радиуса окружности.

2. Расстояние от центра до прямой меньше радиуса окружности.

3. Расстояние от центра до прямой равно радиусу окружности.

В третьем случае прямая имеет с окружностью только одну общую точку, такая прямая называется касательной к окружности, общая точка называется тогда точкой касания .

1. Если прямая перпендикулярна радиусу в конце его, лежащем на окружности, то она касается окружности.

2. Если прямая касается окружности, то радиус, проведённый в точку касания перпендикулярен прямой.

Следствие. Две касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны и образуют равные углы с прямой, соединяющей точку с центром .

Относительное положение двух окружностей. Если две окружности имеют только одну общую точку, то говорят, что они касаются , если же две окружности имеют две общие точки, то говорят, что они пересекаются . Будем называть линией центров прямую, проходящую через центры двух окружностей.

Теорема. Если две окружности имеют общую точку, расположенную вне линии центров, то они имеют ещё и другую общую точку, симметричную с первой относительно линии центров.

1. Если две окружности имеют общую точку на линии их центров, то они касаются.

2. Если две окружности касаются, то точка качания лежит на линии центров.

Вписанный угол. Угол, образованный двумя хордами, исходящими из одной точки окружности, называется вписанным углом.

Теорема. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается.

Следствия. 1. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой.

2. Всякий угол, опирающийся на диаметр, есть прямой.

Теоремы. 1. Угол, вершина которого лежит внутри круга измеряется полусуммой двух дуг, одна из которых заключена между его сторонами, а другая — между продолжениями сторон.

2. Угол , вершина которого лежит вне круга и стороны которого пересекаются с окружностью, измеряется полуразностью двух дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство. Проведя хорду AD мы получим треугольник ,относительно которого рассматриваемый угол АВС служит внешним , когда его вершина лежит внутри круга, внутренним, когда его вершина лежит вне круга. Поэтому :

в первом случае : Р ABC= Р ADC+ Р DAE,

во втором случае : Р ABC= Р ADC- Р DAE.

Но углы ADC и DAE , как вписанные измеряются половинами дуг AC и DE ,следовательно, теорема доказана.

Вписанные и описанные многоугольники. Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то говорят, что этот многоугольник вписан в окружность или что окружность описана около него.

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то говорят, что многоугольник описан около окружности или что окружность вписана в треугольник.

Теоремы. 1. Около всякого треугольника можно описать окружность и только одну.

2. Во всякий треугольник можно вписать окружность и только одну.

Свойство вписанного четырёхугольника : В выпуклом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна двум прямым. Обратно, если в выпуклом четырёхугольнике сумма противоположных углов равна двум прямым, то около него можно описать окружность.

Следствия. 1. Из всех параллелограммов только около прямоугольника можно описать окружность .

2. Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда она равнобочная.

Свойство описанного четырёхугольника : В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны .

Четыре замечательные точки в треугольнике.

1. Три перпендикуляра к сторонам треугольника, проведённые через их середины, сходятся в одной точке, которая есть центр описанного круга.

2. Биссектрисы углов треугольников сходятся в одной точке, которая есть центр вписанного круга.

3. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке.

4. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, эта точка отсекает от каждой медианы третью часть, считая от соответствующей стороны.

Источник

Планиметрия. Страница 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1.Окружность

Окружностью называется фигура, состоящая из множества точек на плоскости, равноудаленных от данной точки.

Читайте также: Точка к середина гипотенузы ав прямоугольного равнобедренного треугольника авс
Эта данная точка называется центром окружности. Расстояние от центра окружности до ее точек называется радиусом окружности.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.

Если хорда проходит через центр окружности, то она называется диаметром. (Рис.1)

ОА — радиус
ВС — диаметр
DE — хорда

Рис.1 Окружность, радиус, диаметр, хорда.

2.Окружность, описанная около треугольника

Теорема: центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров, опущенных на середины сторон данного треугольника.

Доказательство. Пусть АВС данный треугольник и точка О является центром окружности, описанной около данного треугольника. (Рис.2) Тогда отрезки ОА, ОВ, ОС равны как радиусы. Следовательно, треугольники Δ АОВ, Δ ВОС, Δ АОС — равнобедренные. А следовательно, и медианы, проведенные к серединам сторон ОК, ОЕ, ОD, являются одновременно биссектрисой и высотой. Поэтому предположение, что центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения высот, верно.

Рис.2 Теорема. Окружность, описанная около треугольника.

3.Окружность, вписанная в треугольник

Теорема. центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения биссектрис, проведенных из его углов.

Доказательство. Пусть дан треугольник АВС. Точка О — центр вписанной окружности. (Рис. 3)

Тогда треугольник Δ АОЕ равен треугольнику Δ АОТ,
Δ СОЕ = Δ СОК,
Δ ВОК = Δ ВОТ.
Так как стороны ОА, ОВ, ОС у них общие. А ОК, ОЕ, ОТ как радиусы.
Следовательно:
∠ ЕАО = ∠ ТАО,
∠ ЕСО = ∠ КСО,
∠ КВО = ∠ ТВО.

Это значит, что точка О лежит на пересечении биссектрис АО, ВО, СО.

Рис.3 Теорема. Окружность, вписанная в треугольник.

4.Геометрическое место точек

Геометрическое место точек это фигура, которая представляет собой совокупность точек на плоскости, подчиняющихся определенному закону или обладающих определенным свойством.

Теорема. Геометрическим местом точек называется прямая, все точки которой равноудалены от двух данных точек, перпендикулярная отрезку, соединяющему эти точки и проходящая через его середину.

Доказательство. Пусть дан отрезок АС. Прямая А проходит через середину этого отрезка и перпендикулярна ему.(Рис. 4).

Тогда треугольники Δ АМВ и Δ СМВ равны. Так как сторона ВМ у них обшая, а стороны АМ и МС равны по условию. Следовательно точка В равноудалена от точек А и С.
Возьмем другую точку, например D, не лежащую на прямой а. Тогда сторона MD не принадлежит прямой а. А следовательно, углы AMD и DMC не равны т.к. не равны треугольники. Данное утверждение основано на том, что через точку, лежащую на прямой, можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. И следовательно, расстояния от точки D до точек А и С не равны. Поэтому, для того чтобы расстояния от некой точки Х до двух данных точек были равны, необходимо чтобы она лежала на прямой а, которая перпендикулярна отрезку, соединяющего эти точки, и которая проходит через его середину.

Рис.4 Теорема. Геометрическое место точек.

Репетитор: Васильев Алексей Александрович

Предметы: математика, физика, информатика, экономика, программирование.

2000 руб / 120 мин — подготовка к ЕГЭ и ГИА для школьников. 3000 руб / 120 мин — индивидуально (базовый уровень). 2000 руб / 120 мин — студенты.

Тел. 8 916 461-50-69, email: alexey-it@ya.ru

Пример 1

Дана окружность с центром О. И проведена касательная а из точки С к этой окружности. Доказать, что точка К лежит на основании равнобедренного треугольника ОВС, если OB = 2R. (рис.5)

По условию прямая а есть касательная к окружности, следовательно радиус, проведенный к точке касания ОК, и который лежит на прямой с, составляет прямой угол с касательной. Так как ОВ = 2R и KB = R, то прямая а будет представлять собой геометрическое место точек, так как она перпендикулярна отрезку ОВ и проходит через его середину. А следовательно, треугольники ВКС и ОКС равны по первому признаку равенства треугольников. Отсюда можно сделать вывод, что точка К будет лежать на основании равнобедренного треугольника ВОС.

Читайте также: Запишите обозначения двух граней прямоугольного параллелепипеда для которых ребро мк является общим

Рис.5 Задача. Дана окружность с центром О.

Пример 2

Докажите, что касательная к окружности не имеет с ней других общих точек, кроме точки касания. (Рис.6)

Доказательство:

Пусть дана окружность с центром в точке О. И прямая а, которая касается окружности в точке А. Допустим, что прямая а имеет еще одну точку касаная — точку В. Тогда радиус окружности, проведенный к точкам А и В образует угол с прямой а равный 90°.

Таким образом, в равнобедренном треугольнике АОВ углы при вершинах А и В равны 90°. А это невозможно. Следовательно, мы пришли к противоречию и прямая а не может касаться окружности в двух точках.

Рис.6 Задача. Касательная к окружности.

Пример 3

Точки А,В,С лежат на одной прямой, а точка О лежит вне этой прямой. Докажите, что треугольники АОВ и ВОС не могут быть равнобедренными с основаниями АВ и ВС. (Рис.7)

Доказательство:

Допустим, что треугольники АОВ и ВОС равнобедренные с основаниями АВ и ВС. Тогда Стороны АО, ВО и СО равны. Отсюда следует, что углы ОАВ, АВО, ОВС и ОСВ равны. И ∠АВО = ∠ОВС = 90°, так как эти углы являются смежными, а их сумма равна 180°.

Таким образом, в равнобедренных треугольниках АОВ и ВОС углы при вершинах А и С равны 90°. А это невозможно, потому, что тогда стороны АО, ВО и СО были бы параллельны, так как они перпендикулярны одной прямой АС. Следовательно, мы пришли к противоречию, и треугольники АОВ и ВОС не могут быть равнобедренными с основаниями АВ и ВС.

Рис.7 Задача. Даны три точки на прямой.

Пример 4

Окружности с центрами О и О₁ пересекаются в точках А и В. Докажите, что прямая АВ перпендикулярна прямой ОО₁ (Рис.8)

Доказательство:

Так как окружности пересекаются в точках А и В, то эти две точки принадлежат обеим окружностям. Следовательно, отрезок ОА = ОВ, как радиусы окружности с центром в точке О. А отрезок О₁А = О₁В, как радиусы окружности с центром в точке О₁.

Таким образом, треугольники ОАО₁ и ОВО₁ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). А следовательно отрезки АС и ВС равны. И прямая ОО₁ является геометрическим местом точек для двух данных точек А и В. Т.е. любая точка прямой ОО₁ равноудалена от двух данных точек А и В. Следовательно, треугольники ОАС и ОВС равны, также как и треугольники АСО₁ и ВСО₁ по трем сторонам. А отсюда следует равенство углов при вершине С. Т.е. ∠ОСА = ∠ОСВ = ∠АСО₁ = ∠ВСО₁ = 90°.

Следовательно, можно сделать вывод, что прямая АВ перпендикулярна прямой ОО₁.

Рис.8 Задача. Окружности с центрами О и О₁.

Пример 5

Отрезок ВС пересекает прямую а в точке О. Расстояние от точек В и С до прямой а равны. Докажите, что точка О является серединой отрезка ВС (Рис.9)

Доказательство:

По условию задачи, расстояния от точек В и С до прямой а равны. Т.е. РС = BQ. Так как расстояние от точки до прямой представляет собой перпендикуляр, то два треугольника РОС и ВОQ, образованные двумя пересекающимися прямыми ВС и а, и перпендикулярами, опущенными на одну из них, равны по второму признаку равенства треугольников ( по стороне и двум прилегающим к ней углам: РС = BQ, углы при вершинах В и С равны как внутренние накрест лежащие, а углы при вершинах Р и Q прямые).

Из равенства треугольников РОС и ВОQ следует, что ВО = ОС.

Рис.9 Задача. Отрезок ВС пересекает прямую а .

Источник