Cos b формула прямоугольного треугольника

Косинус в прямоугольном треугольнике

Косинус в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к гипотенузе, он зависит исключительно от величины угла и не зависит от размеров самого треугольника.

Формула для нахождения косинуса угла в прямоугольном треугольнике

Косинус одного угла, равняется синусу другого угла. Математически это можно выразить следующим образом:

Исходя из указанных выше свойств и формул, можно найти величины 2-х сторон прямоугольного треугольника, зная величину одной стороны и его углов (а точнее их косинусов).

Кроме того существуют таблицы, которые содержат значения косинусов для всех возможных углов.

Как найти неизвестную сторону треугольника?

Зная величины двух сторон и угла, противолежащего неизвестной стороне, можем найти третью сторону в любом треугольнике (не обязательно прямоугольном), воспользовавшись формулой:

*Следует помнить, что для тупого угла (а > 90) косинус принимает отрицательное значение (меньше нуля).

Если по данной формуле попытаться найти размер стороны с, то получим стандартное представление теоремы Пифагора. Это вызвано тем, что косинус угла 90 градусов равен нулю. Таким образом, произведение, записанное после знака минус, будет равно нулю.

Источник

Синус, косинус, тангенс в прямоугольном треугольнике

Гипотенузой называется та сторона треугольника, что лежит против угла в 90 градусов, две оставшиеся стороны называются катетами прямоугольного треугольника.

Подробнее про прямоугольный треугольник здесь.

Синусом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенсом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

Бывает (и на ЕГЭ, ГИА), что приходится иметь дело с косинусами, синусами и тангенсами внешних углов треугольника. Формулы приведения позволяют увидеть, что есть еще и вот такая связь между смежными углами (помимо того, что их сумма равна 180):

Смотрите подборку задач на применение указанных соотношений в статье «Прямоугольный треугольник. Вычисление длин и углов» часть I, часть II.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Источник

Прямоугольные треугольники

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90$ градусов).

Катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Читайте также:  Точка движется замедляясь по окружности радиуса к

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.

2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45$ градусов, то этот треугольник равнобедренный.

3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $60$ градусов, равен малому катету этого треугольника, умноженному на $√3$.

5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на $√2$

6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности $(R)$

7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями, которых являются катеты данного треугольника.

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

1. Синусом $(sin)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

2. Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

3. Тангенсом $(tg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

4. Котангенсом $(ctg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:

5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.

6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.

7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$ $30$ $45$ $60$
$sinα$ $<1>/<2>$ $<√2>/<2>$ $<√3>/<2>$
$cosα$ $<√3>/<2>$ $<√2>/<2>$ $<1>/<2>$
$tgα$ $<√3>/<3>$ $1$ $√3$
$ctgα$ $√3$ $1$ $<√3>/<3>$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $АВ=10, АС=√<91>$. Найдите косинус внешнего угла при вершине $В$.

Так как внешний угол $АВD$ при вершине $В$ и угол $АВС$ смежные, то

Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, для угла $АВС$:

Катет $ВС$ мы можем найти по теореме Пифагора:

Подставим найденное значение в формулу косинуса

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $sin⁡A=<4>/<5>, AC=9$. Найдите $АВ$.

Распишем синус угла $А$ по определению:

Так как мы знаем длину катета $АС$ и он не участвует в записи синуса угла $А$, то можем $ВС$ и $АВ$ взять за части $4х$ и $5х$ соответственно.

Применим теорему Пифагора, чтобы отыскать $«х»$

Так как длина $АВ$ составляет пять частей, то $3∙5=15$

В прямоугольном треугольнике с прямым углом $С$ и высотой $СD$:

Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.

В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

Источник

Что такое синус, косинус, тангенс и котангенс в прямоугольном треугольнике?

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.

Приветствую Вас дорогие учащиеся.

Сейчас рассмотрим что же такое синус, косинус, тангенс и котангенс в прямоугольном треугольнике?

Это тема не сложная, главное это запомнить правила. И так начнем:

Вспомним, что такое прямоугольный треугольник?

Прямоугольным треугольником, называется треугольник у которого один из углов прямой (составляет 90 градусов). Две стороны которые прилежат к прямому углу, называются катетами, а сторона лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой.

Синус (sin(a)) — это отношение противолежащего катета к гипотенузе;

Косинус (cos(a)) — это отношение прилежащего катета к гипотенузе;

Тангенс (tg(a)) — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету;
Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу;

Котангенс (ctg(a)) — это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Другое (равносильное) определение: котангенсом острого угла называется отношение косинуса угла к его синусу;

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C.

Найти sin(a); cos(a); tg(a); ctg(a) Отношение сторон в прямоугольном треугольнике

Аналогично рассуждаем относительно угла B.

Найти sin(b); cos(b); tg(b); ctg(b) Отношение сторон в прямоугольном треугольнике

Пример:

Найти тангенс угла С (tg(C)) треугольника ABC.

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно. Без шуток. ЗДЕСЬ

Источник

Теорема косинусов (ЕГЭ 2022)

Что же такое теорема косинусов?

Представь себе, это такая… теорема Пифагора для произвольного треугольника. Она однажды тебя спасёт!

Дальше смотри рисунки и ты все поймешь. Один рисунок лучше тысячи слов 🙂

Разберёшься в ней – будь уверен, что любая задача с треугольником окажется тебе под силу!

Теорема косинусов — коротко о главном

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

Почему теорема косинусов это… теорема Пифагора

И причем тут теорема Пифагора? Сейчас поясню.

Согласно теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов.

А что будет, если угол \( \displaystyle \angle C\), скажем, острый?

Вроде ясно, что величина \( \displaystyle <^<2>>\) должна быть меньше, чем \( \displaystyle <^<2>>+<^<2>>\). Но вот на сколько меньше?

А если угол \( \displaystyle \angle C\) – тупой?

Ну, тогда величина \( \displaystyle <^<2>>\) больше, чем \( \displaystyle <^<2>>+<^<2>>\)?

Но, опять же, на сколько? И как это связано с величиной \( \displaystyle \angle C\)?

Обрати внимание на вот эту добавку к теорему Пифагора: \( \displaystyle «-2ab\cos \gamma »\).

Вот она и «адаптирует» теорему Пифагора под острые и тупые углы треугольника. Сейчас мы докажем теорему косинусов и ты увидишь в теореме косинусов теорему Пифагора своими глазами.

Доказательство теоремы косинусов

Итак, для всякого (и остроугольного, и тупоугольного и даже прямоугольного!) треугольника верна теорема косинусов.

Теорема косинусов гласит: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Рассмотрим три случая:

  • угол С острый,
  • угол С тупой,
  • угол С прямой.

И убедимся, что для всех трех случаев теорема косинусов работает!

Угол С острый

\( \displaystyle \angle C

Он прямоугольный, можно пользоваться теоремой Пифагора:

Что такое \( \displaystyle AH\) и \( \displaystyle HB\) ?

\( \displaystyle AH\) можно выразить из треугольника (прямоугольного!) \( \displaystyle AHC\).

\( \displaystyle AH=b\sin \gamma \)

А вот \( \displaystyle BH=a-CH=a-b\cos \gamma \) (снова из \( \displaystyle \Delta AHC\) ).

Открыть ответы…

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Угол С тупой

Начинаем точно также: опускаем высоту из точки \( \displaystyle A\).

А теперь, внимание, отличие!

\( \displaystyle AH=b\sin \left( <<180>^<\circ >>-\gamma \right)\) — это из \( \displaystyle \Delta AHC\) , который теперь оказался снаружи \( \displaystyle \Delta ABC\), а

\( \displaystyle BH=a+b\cos \left( <<180>^<\circ >>-\gamma \right)\).

Открыть ответы…

Мы постоянно улучшаем этот учебник и вы можете нам в этом помочь.
Оформите доступ и пользуйтесь учебником ЮКлэва без ограничений (100+ статей по всем темам ОГЭ и ЕГЭ, 2000+ разобранных задач, 20+ вебинаров-практикумов)

Угол С прямой

Но тогда \( \displaystyle \cos \gamma =0\) и теорема косинусов просто превращается в теорему Пифагора:

В каких же задачах бывает полезна теорема косинусов?

Ну, например, если у тебя даны две стороны треугольника и угол между ними, то ты прямо сразу можешь найти третью сторону.

Или, если тебе даны все три стороны, то ты тут же найдешь косинус любого угла по формуле:

И даже, если тебе даны две стороны и угол НЕ между ними, то третью сторону тоже можно найти, решая квадратное уравнение. Правда, в этом случае получается иногда два ответа и нужно соображать, какой же из них выбрать, или оставить оба.

Попробуй применять и не бояться – теорема косинусов почти также легка в обращении, как и теорема Пифагора.

И приходи к нам на бесплатные вебинары и занятия ( о них ниже).

Бонус: Вебинар на решение задач по теореме косинусов и синусов

Теорема косинусов (и синусов) — универсальный инструмент при решении треугольников — это теоремы косинусов и синусов.

А как мы уже знаем, почти любая задача в планиметрии сводится именно к треугольникам.

Этот вебинар из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике (о нем ниже). Вы выучите сами теоремы и научитесь применять их при решении задач первой части.

Берите ручку и бумагу и решайте вместе с Алексеем Шевчуком.

Источник

Читайте также:  Трапеции электростеклоподъемник ваз 2114
Поделиться с друзьями
Объясняем