Биссектриса внутреннего угла трапеции отсекает от нее равнобедренный треугольник

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

3. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия –

Отношение площадей этих треугольников есть .

4. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — и , то

Площадь

или где – средняя линия

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Источник

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Биссектриса угла трапеции

Рассмотрим задачи, в которых биссектриса угла трапеции делит противоположное основание на отрезки.

Мы уже имели дело с похожей задачей на биссектрису угла параллелограмма, а также рассматривали частный случай для трапеции (когда основание трапеции равно ее боковой стороне, биссектриса трапеции совпадает с ее диагональю).

I. Биссектриса острого угла при большем основании трапеции делит другое основание на отрезки.

1) ∠ BAF= ∠ DAF (так как AF — биссектриса ∠ BAD по условию).

2) ∠ DAF= ∠ BFA (как внутренние накрест лежащие при AD ∥ BC и секущей AF).

3) Следовательно, ∠ BAF= ∠ BFA.

4) Следовательно, треугольник ABF — равнобедренный с основанием AF (по признаку равнобедренного треугольника).

5) Следовательно, AB=BF.

II. Биссектриса тупого угла при меньшем основании трапеции делит другое основание на отрезки.

Аналогично доказывается, что треугольник ABP — равнобедренный:

1) ∠ ABP= ∠ CBP (так как BP — биссектриса ∠ ABC по условию).

2) ∠ CBP= ∠ APB (как внутренние накрест лежащие при AD ∥ BC и секущей BP).

3) Следовательно, ∠ ABP= ∠ APB.

4) Следовательно, треугольник ABP — равнобедренный с основанием BP (по признаку равнобедренного треугольника).

5) Следовательно, AB=AP.

Вывод: в этом случае

биссектриса угла трапеции отсекает от нее равнобедренный треугольник.

Эта задачи — базовые. На их основе существует много других задач.

В следующий раз рассмотрим задачи на пересечение двух биссектрис трапеции.

Источник

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Биссектрисы трапеции

Рассмотрим некоторые задачи, в которых биссектрисы углов трапеции пересекаются.

I. Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются.

1)∠ ABC+ ∠ BAD=180 º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей AB).

2) ∠ ABK+ ∠ KAB=( ∠ ABC+ ∠ BAD):2=90 º (так как биссектрисы делят углы пополам).

3) Так как сумма углов треугольника равна 180 º , в треугольнике ABK имеем: ∠ ABK+ ∠ KAB+ ∠ AKB=180 º , отсюда ∠ AKB=180-90=90 º .

Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом.

Это утверждение, в частности, применяется при решении базовой задачи на трапецию, в которую вписана окружность.

Пусть биссектриса угла ABC пересекает сторону AD в точке S. Тогда треугольник ABS — равнобедренный с основанием BS (доказательство можно посмотреть здесь). Значит, его биссектриса AK является также медианой, то есть точка K — середина BS.

Если M и N — середины боковых сторон трапеции, то MN — средняя линия трапеции и MN ∥ AD.

Так как M и K — середины AB и BS, то MK — средняя линия треугольника ABS и MK ∥ AS.

Поскольку через точку M можно провести лишь одну прямую, параллельную данной, точка K лежит на средней линии трапеции.

Точка пересечения биссектрис трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на средней линии трапеции.

II. Точка пересечения биссектрис острых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию.

В этом случае треугольники ABK и DCK — равнобедренные с основаниями AK и DK соответственно.

Таким образом, BC=BK+KC=AB+CD.

Если биссектрисы острых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей меньшему основанию, то меньшее основание равно сумме боковых сторон трапеции.

В частности, у равнобедренной трапеции в этом случае меньшее основание в два раза больше боковой стороны.

III.Точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию.

В этом случае треугольники ABF и DCF — равнобедренные с основаниями BF и CF соответственно.

Отсюда AD=AF+FD=AB+CD.

Если биссектрисы тупых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей большему основанию, то большее основание равно сумме боковых сторон трапеции.

У равнобедренной трапеции в этом случае большее основание в два раза больше боковой стороны.

Источник

Биссектриса внутреннего угла трапеции отсекает от нее равнобедренный треугольник

Одна из боковых сторон трапеции равна сумме оснований.
Докажите, что биссектрисы углов при этой стороне пересекаются на другой боковой стороне.

Подсказка

Докажите, что указанные биссектрисы проходят через середину второй боковой стороны данной трапеции.

Решение 1

Обозначим основания AD и BC трапеции ABCD через a и b соответственно. Пусть AB = a + b , биссектриса угла B пересекает боковую сторону CD в точке K , а прямую AD – в точке M .
Поскольку треугольник ABM – равнобедренный (∠ AMB = ∠CBM = ∠ ABM ), то AM = AB, DM = AM – AD = AB – AD = b .
Значит, треугольники BKC и MKD равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, K – середина CD . Аналогично докажем, что биссектриса угла A также проходит через точку K .

Решение 2

Пусть L и K – середины боковых сторон AD и BC соответственно. Тогда ALK и BLK – равнобедренные треугольники. Следовательно,
∠LAK = ∠LKA = ∠DAK, то есть AK – биссектриса угла A.
Аналогично, BK – биссектриса угла B.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1942

Проект осуществляется при поддержке и .

Источник

ЕГЭ профильная математика. 16 задание, планиметрия. Разбор задачи

ЕГЭ профильная математика. 16 задание, планиметрия. Разбор задачи

Сейчас существует множество источников заданий и разбором решения. Но в большинстве из них решение дается в сжатом виде, где многие выводы пропущены. Считается, что это и так очевидно. Кстати, про такое «очевидно» есть анекдот:

Читайте также:  Окружность головы плода 338

Профессор объясняет студентам решение задачи на доске. В какой-то момент он говорит: «из этого очевидно следует, что.»

здесь он прерывается, задумывается, смотрит еще раз на решение, опять думает, потом убегает из аудитории и отсутствует некоторое время. затем возвращается с толстенной книгой в руках, долго в ней что-то рассматривает, листает страницы, и минут через десять выдает:

«ну да, очевидно следует! » и продолжает))

По опыту я знаю, что далеко не всем очевидны такие разборы и некоторые вовсе забрасывают подобные задачи, считая что им они не под силу.

Поэтому я решила выложить подробный разбор одной из таких задач.

Решение может показаться длинным, но это от того, что я расписала каждый шаг и еще добавила некоторые правила.

Итак, задача. Условие:

Дан остроугольный треугольник АВС.

Биссектриса внутреннего угла при вершине В пересекает биссектрису внешнего угла при вершине С в точке М.

Биссектриса внутреннего угла при вершине С пересекает биссектрису внешнего угла при вершине В в точке N.

а) Докажите, что

б) Найдите ВМ, если АВ = АС = 5, ВС = 6

В результате проведения окружности появились вписанные углы.

Что и требовалось доказать.

Решение б) (Найдите ВМ, если АВ = АС = 5, ВС = 6):

Таким образом, отрезки КМ и КZ равны, следовательно, точка М лежит на биссектрисе угла КАС:

Аналогичными рассуждениями доказывается, что точка N лежит на биссектрису угла ВКТ, где точка Т обозначает конец прямой, получившейся продлением отрезка СА за точку А:

Треугольник АВС – равнобедренный по условию (АВ = АС = 5).

Угол САК является внешним к равнобедренному треугольнику АВС, отсюда:

А углы МАС и АСВ – внутренние накрест лежащие при прямых АМ и ВС и секущей АС, следовательно, отрезки АМ и ВС параллельны.

Аналогично доказывается параллельность отрезков АN и ВС.

Из этого следует, что весь отрезок MN параллелен отрезку ВС и содержит точку А.

Таким образом, получаем, что MNBC – трапеция с основаниями MN и BC.

Трапеция еще и равнобедренная, потому что

окружность можно описать только около равнобедренной трапеции,

а в первом пункте задачи было доказано, что около точек MNBC можно описать окружность.

А – центр этой окружности.

Это можно заключить из равенства треугольников АМС и АNВ.

Треугольники АМС и АNВ равны по двум сторонам и углу между ними. АВ=АС по условию, NB = MC, так как трапеция MNBC равнобедренная, а углы между этими сторонами – это половины равных углов.

Источник