- Биссектрисы равнобедренного треугольника
- Свойства биссектрисы равнобедренного треугольника
- Свойства биссектрисы равнобедренного треугольника
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
- Пример задачи
- Биссектриса угла
- Биссектриса угла — коротко о главном
- Определение биссектрисы угла
- Биссектриса равнобедренного треугольника
- Доказательство теорем о совпадении биссектрисы с медианой и высотой в равнобедренном треугольнике
- Открыть ответы…
- Биссектриса, медиана, высота — определения и отличия
- Угол между биссектрисами любого треугольника
- Равнобедренный треугольник
Биссектрисы равнобедренного треугольника
Свойства биссектрис равнобедренного треугольника
I. Биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника (проведенные к боковым сторонам), равны.
AN и BM — биссектрисы.
Рассмотрим треугольники ACN и BCM
(не забываем, как важно правильно назвать равные треугольники!).
1) AC=BC (по условию (как боковые стороны равнобедренного треугольника))
3) ∠ CAN= ∠ CBM (как углы, на которые биссектрисы делят равные углы при основании равнобедренного треугольника)
Следовательно, ∆ACN=∆BCM (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AN=BM.
Что и требовалось доказать.
Если в треугольнике два угла раны, то этот треугольник — равнобедренный (по признаку).
Если в треугольнике две стороны равны, то этот треугольник — равнобедренный (по определению).
Отсюда вытекает, что
Биссектрисы, проведенные из равных углов треугольника, равны.
Биссектрисы, проведенные к равным сторонам треугольника, равны.
(Вместо пары треугольников ACN и BCM можно было рассмотреть треугольники ABM и BAN.
1) AB — общая сторона
2) ∠ MAB= ∠ NBA (как углы при основании равнобедренного треугольника)
3) ∠ ABM= ∠ BAN (как углы, образованные биссектрисами равных углов).
Следовательно, треугольники ACN и BCM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам).
II. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делит боковую сторону на отрезки, пропорциональные боковой стороне и основанию.
Источник
Свойства биссектрисы равнобедренного треугольника
В данной публикации мы рассмотрим основные свойства биссектрисы равнобедренного треугольника (внутренней и внешней), а также разберем пример решения задачи по данной теме.
Примечание: напомним, что равнобедренным называется треугольник, в котором две стороны равны (боковые), а третья является основание фигуры.
Свойства биссектрисы равнобедренного треугольника
Свойство 1
В равнобедренном треугольнике биссектрисы, проведенные к боковым сторонам, равны между собой.
- AB = BC, т.к. являются боковыми сторонами равнобедренного △ABC;
- AF = CG, т.к. это биссектрисы, проведенные к боковым сторонам треугольника (или биссектрисы углов BAC и ACB, которые также равны между собой).
Обратная формулировка: если две из трех биссектрис в треугольнике равны, значит он является равнобедренным.
Свойство 2
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, одновременно является и медианой и высотой.
- BH – биссектриса угла ABC, проведенная к основанию AC;
- BH – медиана, значит она делит AC пополам, т.е. AH = HC;
- BH – высота, следовательно, она перпендикулярна AC.
Свойство 3
Если известны стороны равнобедренного треугольника, то длину биссектрисы, проведенную к основанию, можно посчитать по формуле:
Примечание: данная формула следует из теоремы Пифагора ( l и a – катеты прямоугольного треугольника, b – его гипотенуза).
Свойство 4
Внешняя биссектриса угла равнобедренного треугольника, расположенного напротив его основания, параллельна этому основанию.
- BD – внешняя биссектриса ∠ABC треугольника;
- BD параллельна основанию AC.
Примечание: к равнобедренному треугольнику применимы и другие свойства биссектрисы, приведенные в нашей публикации – “Определение и свойства биссектрисы угла треугольника”.
Пример задачи
Биссектриса равнобедренного треугольника с боковой стороной 25 см равняется 20 см. Найдите периметр фигуры.
Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в Свойстве 3, чтобы найти длину основания.
a 2 = b 2 – l 2 = 25 2 – 20 2 = 225 .
Извлекаем квадратный корень из найденного значения и получаем 15 см.
Следовательно, основание треугольника равно 30 см (15 см ⋅ 2).
Периметр фигуры равен сумме всех ее сторон, т.е.: 25 см + 25 см + 30 см = 80 см.
Источник
Биссектриса угла
Когда-то древние астрономы и математики открыли очень много интересных свойств биссектрисы угла треугольников и других фигур.
Эти знания сильно упростили жизнь людей. Стало легче строить, считать расстояния, даже корректировать стрельбу из пушек…
Нам же знание этих свойств поможет решить некоторые задания ЕГЭ!
Биссектриса угла — коротко о главном
Биссектриса угла — это линия, делящая угол пополам.
Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленых от сторон угла.
Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.
Теорема 1. Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, и эта точка – центр вписанной в треугольник окружности.
Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также и медианой, и высотой.
Теорема 3. Биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник.
Теорема 4. Биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника перпендикулярны.
Теорема 5. Биссектрисы односторонних углов параллелограмма и трапеции пересекаются под прямым углом.
Теорема 6. Отношение отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону, такое же, как и отношение двух сторон, между которыми эта биссектриса прошла.
А теперь подробнее…
Определение биссектрисы угла
Помнишь шутку: «Биссектриса это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам»?
Так вот, настоящее определение биссектрисы угла очень похоже на эту шутку — биссектриса действительно делит пополам угол (а не отрезок, например):
Биссектриса угла – это линия, делящая угол пополам.
Или еще вот такое определение биссектрисы:
Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленых от сторон угла.
А вот определение биссектрисы треугольника:
Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.
Тебе встретилась в задаче биссектриса? Постарайся применить одно (а иногда можешь и несколько) из следующих потрясающих свойств.
Биссектриса равнобедренного треугольника
Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является и медианой, и высотой.
Но представляешь, это ещё не всё. Верна ещё и обратная теорема:
Если в треугольнике биссектриса, проведённая из какого-то угла, совпадает с медианой или с высотой, то этот треугольник равнобедренный.
Мы скоро докажем обе этих теоремы, а пока твердо запомни:
Биссектриса совпадает с высотой и медианой только в равнобедренном треугольнике!
Зачем же это твердо запоминать? Как это может помочь?
А вот представь, что у тебя задача:
Дано: \( AB=5,
Найти: \( \displaystyle BC. \)
Ты тут же соображаешь, \(\displaystyle BD \) биссектриса и, о чудо, она разделила сторону \( \displaystyle AC \) пополам! (по условию…).
Если ты твердо помнишь, что так бывает только в равнобедренном треугольнике, то делаешь вывод, что AB=BC и значит, пишешь ответ: BC=5.
Здорово, правда? Конечно, не во всех задачах будет так легко, но знание обязательно поможет!
Доказательство теорем о совпадении биссектрисы с медианой и высотой в равнобедренном треугольнике
Почему в случае с равнобедренным треугольником биссектриса оказывается одновременно и медианой и высотой?
Как это доказать?
Смотри: у \( \triangle ABL \) и \( \triangle CBL \) равны стороны \( AB \) и \( BC \), сторона \( BL \) у них вообще общая и \( \angle 1=\angle 2\). (\( BL \) – биссектриса!)
И вот, получилось, что два треугольника имеют по две равные стороны и угол между ними.
Вспоминаем первый признак равенства треугольников (не помнишь, загляни в тему «Треугольник») и заключаем, что \( \triangle ABL=\triangle CBL \), а значит \( AL \)= \( CL \) и \( \angle 3=\angle 4 \).
\( AL \) = \( CL \) – это уже хорошо – значит, \( BL \) оказалась медианой.
А вот что такое \( \angle 3=\angle 4 \)?
Открыть ответы…
Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:
Будет немного сложнее, но пока мы отвлечемся на термины — повторим что такое биссектриса, медиана и высота, чем они похожи и чем они отличаются.
Биссектриса, медиана, высота — определения и отличия
Кстати, а помнишь ли ты все эти термины? Чем они отличаются друг от друга?
Если нет, не страшно. Сейчас разберемся.
- Основание равнобедренного треугольника – это та сторона, которая не равна никакой другой. Посмотри на рисунок, как ты думаешь, какая это сторона? Правильно – это сторона \( AC. \);
- Медиана – это линия, проведенная из вершины треугольника и делящая противоположную сторону (это снова \( AC \) пополам. Заметь, мы не говорим: «Медиана равнобедренного треугольника». А знаешь почему? Потому что медиана, проведенная из вершины треугольника, делит противоположную сторону пополам в ЛЮБОМ треугольнике.;
- Высота – это линия, проведенная из вершины и перпендикулярная основанию. Ты заметил? Мы опять говорим о любом треугольнике, а не только о равнобедренном. Высота в ЛЮБОМ треугольнике всегда перпендикулярна основанию.
Чем биссектриса, медиана и высота похожи между собой?
Биссектриса, медиана и высота – все они «выходят» из вершины треугольника и упираются в противоположную сторону и «что-то делают» либо с углом из которого выходят, либо с противоположной стороной.
Чем биссектриса, медиана и высота отличаются между собой?
- Биссектриса делит угол, из которого выходит, пополам.
- Медиана делит противоположную сторону пополам.
- Высота всегда перпендикулярна противоположной стороне.
Вернемся к нашим баранам — к свойствам биссектрисы…
Угол между биссектрисами любого треугольника
B \( \triangle ABC \)проведем две биссектрисы \( AO \)и \( OC \).
Они пересеклись. Какой же угол получился у точки \( O \)?
Давай его посчитаем. Ты помнишь, что сумма углов треугольника равна \( 180<>^\circ \) ?
Применим этот потрясающий факт. С одной стороны, из \( \triangle ABC \):
\( \angle A+\angle B+\angle C=180<>^\circ \), то есть \( \angle B=180<>^\circ \text< >-\text< >\left( \angle A+\angle C \right) \).
Теперь посмотрим на \( \triangle AOC \):
\( \angle 2+\angle 6+\angle 3=180<>^\circ \)
Но биссектрисы, биссектрисы же!
Значит \( \left( \triangle AOC \right) \)
Вспомним про \( \triangle ABC : \angle A+\angle C=180<>^\circ -\angle B \)
Значит, \( \angle 6=180<>^\circ -\frac<180<>^\circ -\angle B><2>=90+\frac<\angle B> <2>\)
Теперь через буквы
Не удивительно ли?
Получилось, что угол между биссектрисами двух углов зависит только от третьего угла!
Ну вот, две биссектрисы мы посмотрели. А что, если их три?! Пересекутся ли они все в одной точке?
Источник
Равнобедренный треугольник
Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны между собой.
Равные стороны называются боковыми , третья сторона называется основанием .
Свойства равнобедренного треугольника
1. Углы при основании равны
2. Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию совпадают между собой
3. Углы при основании равнобедренного треугольника вычисляются по следующей формуле:
,
где – угол напротив основания.
4. Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из углов при основании равны между собой
5. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на медиане=высоте=биссектрисе, проведенной к основанию
Признаки равнобедренного треугольника
1. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
2. Если в треугольнике медиана является и высотой (биссектрисой), то такой треугольник равнобедренный.
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
Источник