Биссектриса угла параллелограмма является диагональю прямоугольника

Биссектриса параллелограмма — свойства, признаки и теоремы

Аксиома параллельности прямых, которая приведена Евклидом в книге «Начала», служит основой для доказательства многих свойств биссектрисы параллелограмма. О них знали пифагорейцы. Но понятие о самой фигуре ввел именно Евклид. Она представляет собой четырехугольник с параллельными противоположными сторонами.

Равнобедренный треугольник в параллелограмме

Биссектриса параллелограмма может быть проведена из вершины острого или тупого угла фигуры. Доказательство теоремы о равнобедренности образуемых прямой треугольников в этих случаях имеет аналогичный порядок. Чтобы доказать утверждение, нужно знать признак равнобедренности треугольника:

С помощью аналогичных рассуждений можно доказать, что биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону на отрезки и отсекает от него равнобедренный треугольник.

Точка пересечения прямых

Согласно свойству, проведенные из смежных углов параллелограмма биссектрисы пересекаются в точке на противоположной стороне, если она в 2 раза больше меньшей. Доказать это утверждение можно следующим способом:

  • В равнобедренном треугольнике АВО сторона АО является биссектрисой четырехугольника АВСD.
  • Признак равнобедренности предполагает равенство АВ и ВО.
  • Согласно свойству, равенство СО и СD свидетельствует о равнобедренности треугольника СDО.
  • Стороны АВ и СD равны как противолежащие, из чего следует равенство ВО и СО.
  • Поскольку АВ и ВО равны, то ВО = СО, поэтому АВ равна половине ВС, значит большая сторона фигуры в 2 раза превышает величину меньшей.

    Доказательство свойства позволяет предположить, что биссектрисы смежных углов пересекаются внутри либо вне параллелограмма. При этом одна сторона больше или меньше половины другой. Если ее величина больше половины соседней, значит прямые пересекутся внутри фигуры.

    Биссектрисы, проведенные через смежные углы, пересекаются с продолжением противоположных сторон параллелограмма в вершинах ромба. В зависимости от величины другой стороны, ромб совпадает с ним либо обладает большим или меньшим периметром. Если частить с построением этой фигуры, то длины сторон параллелограмма будут бесконечными.

    Свойства односторонних углов

    Параллелограмм АВСД имеет смежные углы при параллельных прямых АВ и СД, обозначенные а1 и а2. Для доказательства теоремы о перпендикулярности биссектрис нужно знать свойства смежных углов, сумма которых равна 180 градусам.

    Поскольку биссектрисы можно провести внутри острого или тупого угла параллелограмма, то величину смежного с ним внешнего угла можно сложить, получив 180 градусов. Если обозначить их через АО и ДЕ, то углы ОАВ и ЕДС будут равны половинам а1 и а2 соответственно. Так как а1 + а2 = 180, то (а1 + а2) / 2 = 90, значит АО и ДЕ образуют прямой угол АКД.

    Применять свойство биссектрис можно при нахождении периметра фигуры. Должны быть известны данные о соотношениях или длинах отрезков, образованных при пересечении противолежащей стороны биссектрисой. Например, она делит на отрезки ВК и КС сторону параллелограмма ABCD, величины которых известны.

    Формула определения периметра будет иметь вид: P=2 (n+n+m). Где ВС=BК+КC=n+m, а АВ=ВК=n по свойству биссектрисы. С учетом признака равнобедренности треугольника можно построить эту прямую, дополнив рисунок фигуры без транспортира с помощью циркуля.

    Противолежащие углы и биссектрисы

    Согласно свойству параллельных прямых, биссектрисы a и b проходят параллельно друг другу. Они образуют внутри фигуры со сторонами mnkp другой параллелограмм, следовательно, он обладает параллельными противоположными сторонами. Прямые, на которых они лежат, соответствуют сторонам исходной фигуры, поэтому ее биссектрисы a и b являются равными.

    Читайте также:  Задачи на движение тела по окружности физика

    Углы, которые образованы отрезками a и m, а также b и k, согласно свойствам биссектрис и параллелограммов, равны. Противолежащие равные по величине углы, образованные отрезками mp и nk, можно разделить пополам. Прямая b, пересекающая отрезки n и p, образует с ними накрест лежащие углы, признак которых состоит в их равенстве. Они равны разделенным пополам противоположным и являются соответственными при параллельных прямых n и p.

    Вершины образуемого прямоугольника

    Биссектрисы параллелограмма пересекаются в точках, представляющих собой вершины прямоугольника, что можно доказать следующим образом:

  • Согласно исходным данным, параллелограмм ABCД имеет внешние углы, через вершины которых В и С проведены прямые, разделяющие их пополам.
  • Если К, М, Р и О представляют собой точки пересечения биссектрис, исходящей из вершин фигуры, то они образуют четырехугольник.
  • По свойству смежных внутренних углов, образуемых параллельными прямыми и секущей, все стороны четырехугольника КМРО перпендикулярны между собой.
  • Если через середину ВС фигуры провести медиану треугольника ВКС в параллелограмме, то эта точка Х разделит ВС на равные отрезки ВХ и СХ.
  • Отсюда следует равенство углов ХКС, КСХ и КСТ, где Т — это точка, принадлежащая прямой СД.
  • Вывод из доказательства: прямые СД и КХ параллельны.

    Аналогичным способом можно доказать параллельность других сторон прямой СД. Следовательно, диагональ КР образованного биссектрисами параллелограмма прямоугольника КМРО содержит точки Х и Т. Доказательство предполагает следующее равенство: КР = КХ + ХТ + ТР = ХС + СД + ТД = ВС + СД, поэтому величина диагонали равна сумме двух смежных сторон параллелограмма.

    Ромб и его диагонали

    Параллелограмм, имеющий биссектрису, которая совпадает с его диагональю, представляет собой ромб. Чтобы доказать это, нужно провести диагональ AC, соединяющую противоположные вершины ABCD. Способ доказательства теоремы основан на равенстве противолежащих углов параллелограмма.

    Согласно свойству биссектрисы, отрезок АС делит пополам углы BCD и BAD. Они имеют одинаковую величину, поскольку противоположные углы равны. Диагональ АС — основание треугольников ACB и ACD. Согласно признаку равнобедренности АВ и АС, а также AD и CD, равны между собой. По свойству равенства противоположных сторон параллелограмма AB = CD и AD = BC.

    Фигура ABCD, представляющая собой по условию параллелограмм, имеет равные по величине AB, AD, BC и CD в соответствии с доказательством. Отсюда следует, что параллелограмм ABCD по определению ромб. В нем биссектриса АС — это его диагональ.

    Примеры решения задач

    Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересеклись в точке на его противолежащей стороне. Зная его меньшую сторону, можно найти большую, а также наоборот. Допустим, что длина меньшей стороны фигуры составляет 5 сантиметров.

    Обозначив вершины фигуры A, B, C, D, а точку на AD буквой Р, достаточно иметь в виду, что AD=AР+РD=AB+CD. Это доказывает признак равенства накрест лежащих углов СВР и АРВ, а также ВСР и СРD при параллельных прямых. Формула для нахождения большей стороны будет иметь вид: AD=2AB=10, поскольку AB = CD. При необходимости найти меньшую можно по формуле: AD=AB/2.

    По условию задачи биссектриса, исходящая из острого угла параллелограмма, разделяет его противоположную сторону на отрезки 73 мм и 54 мм, если считать от вершины тупого угла. Требуется вычислить периметр параллелограмма ABCD. Точка Е делит сторону ВС на отрезки заданной длины, поскольку АЕ — биссектриса угла ВАD. Эта прямая представляет собой секущую для параллельных AD и BC.

    Отсекая равнобедренный треугольник АВЕ, биссектриса ВЕ является его основанием, поэтому сторона параллелограмма АВ равна отрезку ВЕ, длина которого по условию 73 мм. В сумме ВЕ и ЕС равны ВС, что составляет 127 мм. Отсюда периметр ABCD соответствует удвоенной сумме его сторон: Р = 2 (73+127) = 400 мм. Чтобы найти большую сторону параллелограмма ABCD при известном периметре 128 мм, можно использовать аналогичное доказательство равнобедренности треугольника.

    Читайте также:  Как правильно называется трапеция дворников

    По условию соотношение отрезков, образуемых точкой пересечения биссектрисы DЕ с противоположной стороной ВС, равно 4:3, если считать от острого угла при вершине А. Из равенства противоположных сторон ABCD и признака равнобедренного треугольника следует AD=BC=АЕ=4х, а ЕВ=3х, поэтому CD=АЕ+ЕВ=4х+3х=7х. Зная периметр ABCD, можно составить уравнение Р=2 (7х+4х)=128. Отсюда 22х=128, а х=32, поэтому большая сторона параллелограмма CD=32*7=224 мм.

    Источник

    Параллелограмм: свойства и признаки

    О чем эта статья:

    Определение параллелограмма

    Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:

    Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

    Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

    Свойства диагоналей параллелограмма:

    1. В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
    2. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
    3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

    Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

    Свойства биссектрисы параллелограмма:

    1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
    2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма пересекаются под прямым углом.
    3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

    Как найти площадь параллелограмма:

    1. S = a × h, где a — сторона, h — высота.
    2. S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.
    3. Для ромба: S = 0,5 × (d1 × d2), где d1 и d2 — две диагонали.
      Для параллелограмма: S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями.

    Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

    P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

    У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

    Свойства параллелограмма

    Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

    Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

    1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
      ABCD — параллелограмм, значит, AB = DC, BC = AD.
    2. Противоположные углы параллелограмма равны.
      ABCD — параллелограмм, значит, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
    3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
      ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, AC∩BD=O, значит, BO = OD, AO = OC.
    4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
      ABCD — параллелограмм, AC — диагональ, значит, △ABC = △CDA.
    5. Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.
      ABCD — параллелограмм, значит, ∠A + ∠D = 180°.
    6. В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d1 2 + d2 2 = 2 × (a 2 + b 2 ).

    А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

    Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

    В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

    Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

    Читайте также:  Как решать задачи по геометрии 9 класс трапеции

    1. AB = CD как противоположные стороны параллелограмма.
    2. ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD; ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей BD параллельных прямых AB и CD.
    3. Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне и прилежащим к ней углам, из чего следует:
      • CO = AO
      • BO = DO

    Теорема доказана. Наше предположение верно.

    Признаки параллелограмма

    Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

    Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

    Докажем 1 признак параллелограмма:

    Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

    • AB || CD
    • AB = CD

    Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

    Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

    Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

    1. AC — общая сторона;
    2. По условию AB = CD;
    3. ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей АС.

    Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

    Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

    Вот так быстро мы доказали первый признак.

    Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

    Докажем 2 признак параллелограмма:

    Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

    • AB = CD
    • BC = AD

    Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

    • AC — общая сторона;
    • AB = CD по условию;
    • BC = AD по условию.

    Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

    Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

    А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

    Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

    Доказали второй признак.

    Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

    Докажем 3 признак параллелограмма:

    Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

    • CO = OA;
    • DO = BO;
    • углы между ними равны, как вертикальные, то есть угол AOB равен углу COD.

    Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

    Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

    Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

    Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

    Источник

  • Поделиться с друзьями
    Объясняем