Биссектриса угла параллелограмма делит его сторону на две части

Биссектриса параллелограмма

Как решать задачи, в которых биссектриса параллелограмма делит противолежащую сторону на отрезки? Решение основано на доказанном свойстве биссектрисы параллелограмма.

Это свойство (биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник) после доказательства можно использовать при решении задач. Я предпочитаю доказывать этот факт в каждой задаче (полезное упражнение для отработки навыков).

Биссектриса острого угла параллелограмма делит противоположную сторону на отрезки 3 см и 2 см, считая от вершины тупого угла. Найти периметр параллелограмма.

Дано: ABCD — параллелограмм,

AF — биссектриса ∠BAD,

F ∈ BC, BF=3 см, FC=2 см.

1) ∠BAF=∠DAF (так как AF — биссектриса ∠BAD по условию).

2) ∠BFA=∠DAF (как внутренние накрест лежащие углы при BC ∥ AD и секущей AF).

3) Следовательно, ∠BAF=∠BFA.

4) Следовательно, треугольник ABF — равнобедренный с основанием AF (по признаку).

5) Следовательно, AB=BF=3 см.

6) BC=BF+FC, BC=3+2=5 см.

Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 1:3, считая от вершины острого угла. Периметр параллелограмма равен 90 см. Найти его стороны.

Дано: ABCD — параллелограмм, BK- биссектриса ∠ABC,

Найти: AB, AD, CD, BC.

1) Пусть k — коэффициент пропорциональности. Тогда AK=k см, KD=3k см, AD=AK+KD=k+3k=4k см.

2) ∠ABK=∠CBK (так как BK — биссектриса ∠ABC по условию).

3) ∠CBK=∠AKB (как внутренние накрест лежащие углы при BC ∥ AD и секущей BK).

4) Следовательно, ∠ABK=∠AKB.

5) Следовательно, треугольник ABK — равнобедренный с основанием BK (по признаку равнобедренного треугольника).

Источник

Биссектриса параллелограмма — свойства, признаки и теоремы

Равнобедренный треугольник в параллелограмме

Биссектриса параллелограмма может быть проведена из вершины острого или тупого угла фигуры. Доказательство теоремы о равнобедренности образуемых прямой треугольников в этих случаях имеет аналогичный порядок. Чтобы доказать утверждение, нужно знать признак равнобедренности треугольника:

1. Согласно условию, проведенная из острого угла А биссектриса AF делит одну из сторон ABCD на 2 отрезка.
2. Свойство биссектрисы позволяет утверждать, что углы FAD и BAF равны между собой.
3. Определение внутренних накрест лежащих углов, которые образует секущая AF с прямыми ВС и AD, приводит к выводу о равенстве FAD и BFA.
4. Поскольку углы BFA и BAF равны, этот признак свидетельствует о равнобедренности треугольника ABF.
5. Стороны АВ и BF являются равными и соответствуют отрезку m, который образован при делении ВС биссектрисой.

С помощью аналогичных рассуждений можно доказать, что биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону на отрезки и отсекает от него равнобедренный треугольник.

Точка пересечения прямых

Согласно свойству, проведенные из смежных углов параллелограмма биссектрисы пересекаются в точке на противоположной стороне, если она в 2 раза больше меньшей. Доказать это утверждение можно следующим способом:

1. В равнобедренном треугольнике АВО сторона АО является биссектрисой четырехугольника АВСD.
2. Признак равнобедренности предполагает равенство АВ и ВО.
3. Согласно свойству, равенство СО и СD свидетельствует о равнобедренности треугольника СDО.
4. Стороны АВ и СD равны как противолежащие, из чего следует равенство ВО и СО.
5. Поскольку АВ и ВО равны, то ВО = СО, поэтому АВ равна половине ВС, значит большая сторона фигуры в 2 раза превышает величину меньшей.

Доказательство свойства позволяет предположить, что биссектрисы смежных углов пересекаются внутри либо вне параллелограмма. При этом одна сторона больше или меньше половины другой. Если ее величина больше половины соседней, значит прямые пересекутся внутри фигуры.

Биссектрисы, проведенные через смежные углы, пересекаются с продолжением противоположных сторон параллелограмма в вершинах ромба. В зависимости от величины другой стороны, ромб совпадает с ним либо обладает большим или меньшим периметром. Если частить с построением этой фигуры, то длины сторон параллелограмма будут бесконечными.

Свойства односторонних углов

Параллелограмм АВСД имеет смежные углы при параллельных прямых АВ и СД, обозначенные а1 и а2. Для доказательства теоремы о перпендикулярности биссектрис нужно знать свойства смежных углов, сумма которых равна 180 градусам.

Поскольку биссектрисы можно провести внутри острого или тупого угла параллелограмма, то величину смежного с ним внешнего угла можно сложить, получив 180 градусов. Если обозначить их через АО и ДЕ, то углы ОАВ и ЕДС будут равны половинам а1 и а2 соответственно. Так как а1 + а2 = 180, то (а1 + а2) / 2 = 90, значит АО и ДЕ образуют прямой угол АКД.

Применять свойство биссектрис можно при нахождении периметра фигуры. Должны быть известны данные о соотношениях или длинах отрезков, образованных при пересечении противолежащей стороны биссектрисой. Например, она делит на отрезки ВК и КС сторону параллелограмма ABCD, величины которых известны.

Формула определения периметра будет иметь вид: P=2 (n+n+m). Где ВС=BК+КC=n+m, а АВ=ВК=n по свойству биссектрисы. С учетом признака равнобедренности треугольника можно построить эту прямую, дополнив рисунок фигуры без транспортира с помощью циркуля.

Противолежащие углы и биссектрисы

Согласно свойству параллельных прямых, биссектрисы a и b проходят параллельно друг другу. Они образуют внутри фигуры со сторонами mnkp другой параллелограмм, следовательно, он обладает параллельными противоположными сторонами. Прямые, на которых они лежат, соответствуют сторонам исходной фигуры, поэтому ее биссектрисы a и b являются равными.

Углы, которые образованы отрезками a и m, а также b и k, согласно свойствам биссектрис и параллелограммов, равны. Противолежащие равные по величине углы, образованные отрезками mp и nk, можно разделить пополам. Прямая b, пересекающая отрезки n и p, образует с ними накрест лежащие углы, признак которых состоит в их равенстве. Они равны разделенным пополам противоположным и являются соответственными при параллельных прямых n и p.

Вершины образуемого прямоугольника

Биссектрисы параллелограмма пересекаются в точках, представляющих собой вершины прямоугольника, что можно доказать следующим образом:

1. Согласно исходным данным, параллелограмм ABCД имеет внешние углы, через вершины которых В и С проведены прямые, разделяющие их пополам.
2. Если К, М, Р и О представляют собой точки пересечения биссектрис, исходящей из вершин фигуры, то они образуют четырехугольник.
3. По свойству смежных внутренних углов, образуемых параллельными прямыми и секущей, все стороны четырехугольника КМРО перпендикулярны между собой.
4. Если через середину ВС фигуры провести медиану треугольника ВКС в параллелограмме, то эта точка Х разделит ВС на равные отрезки ВХ и СХ.
5. Отсюда следует равенство углов ХКС, КСХ и КСТ, где Т — это точка, принадлежащая прямой СД.
6. Вывод из доказательства: прямые СД и КХ параллельны.

Аналогичным способом можно доказать параллельность других сторон прямой СД. Следовательно, диагональ КР образованного биссектрисами параллелограмма прямоугольника КМРО содержит точки Х и Т. Доказательство предполагает следующее равенство: КР = КХ + ХТ + ТР = ХС + СД + ТД = ВС + СД, поэтому величина диагонали равна сумме двух смежных сторон параллелограмма.

Ромб и его диагонали

Параллелограмм, имеющий биссектрису, которая совпадает с его диагональю, представляет собой ромб. Чтобы доказать это, нужно провести диагональ AC, соединяющую противоположные вершины ABCD. Способ доказательства теоремы основан на равенстве противолежащих углов параллелограмма.

Согласно свойству биссектрисы, отрезок АС делит пополам углы BCD и BAD. Они имеют одинаковую величину, поскольку противоположные углы равны. Диагональ АС — основание треугольников ACB и ACD. Согласно признаку равнобедренности АВ и АС, а также AD и CD, равны между собой. По свойству равенства противоположных сторон параллелограмма AB = CD и AD = BC.

Фигура ABCD, представляющая собой по условию параллелограмм, имеет равные по величине AB, AD, BC и CD в соответствии с доказательством. Отсюда следует, что параллелограмм ABCD по определению ромб. В нем биссектриса АС — это его диагональ.

Примеры решения задач

Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересеклись в точке на его противолежащей стороне. Зная его меньшую сторону, можно найти большую, а также наоборот. Допустим, что длина меньшей стороны фигуры составляет 5 сантиметров.

Обозначив вершины фигуры A, B, C, D, а точку на AD буквой Р, достаточно иметь в виду, что AD=AР+РD=AB+CD. Это доказывает признак равенства накрест лежащих углов СВР и АРВ, а также ВСР и СРD при параллельных прямых. Формула для нахождения большей стороны будет иметь вид: AD=2AB=10, поскольку AB = CD. При необходимости найти меньшую можно по формуле: AD=AB/2.

По условию задачи биссектриса, исходящая из острого угла параллелограмма, разделяет его противоположную сторону на отрезки 73 мм и 54 мм, если считать от вершины тупого угла. Требуется вычислить периметр параллелограмма ABCD. Точка Е делит сторону ВС на отрезки заданной длины, поскольку АЕ — биссектриса угла ВАD. Эта прямая представляет собой секущую для параллельных AD и BC.

Отсекая равнобедренный треугольник АВЕ, биссектриса ВЕ является его основанием, поэтому сторона параллелограмма АВ равна отрезку ВЕ, длина которого по условию 73 мм. В сумме ВЕ и ЕС равны ВС, что составляет 127 мм. Отсюда периметр ABCD соответствует удвоенной сумме его сторон: Р = 2 (73+127) = 400 мм. Чтобы найти большую сторону параллелограмма ABCD при известном периметре 128 мм, можно использовать аналогичное доказательство равнобедренности треугольника.

По условию соотношение отрезков, образуемых точкой пересечения биссектрисы DЕ с противоположной стороной ВС, равно 4:3, если считать от острого угла при вершине А. Из равенства противоположных сторон ABCD и признака равнобедренного треугольника следует AD=BC=АЕ=4х, а ЕВ=3х, поэтому CD=АЕ+ЕВ=4х+3х=7х. Зная периметр ABCD, можно составить уравнение Р=2 (7х+4х)=128. Отсюда 22х=128, а х=32, поэтому большая сторона параллелограмма CD=32*7=224 мм.

Источник

Параллелограмм: свойство его биссектрисы

Биссектриса параллелограмма — это отрезок, соединяющий вершину параллелограмма с точкой на одной из двух противоположных сторон и делящий угол при вершине пополам.

\(\bullet\) Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

\(\bullet\) Биссектрисы соседних углов параллелограмма взаимно перпендикулярны: \(BL\perp AN\) .

\(\bullet\) Биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны: \(AN\parallel CP\) .

Биссектрисы углов \(B\) и \(C\) параллелограмма \(ABCD\) пересекаются на стороне \(AD\) . Найдите \(BC\) , если \(AB=4\) .

По свойству биссектрисы параллелограмма \(\triangle ABK\) и \(\triangle CDK\) – равнобедренные ( \(AB=AK\) , \(CD=DK\) ). Следовательно, \[BC=AD=AK+DK=AB+CD=2AB=8.\]

В параллелограмме \(ABCD\) проведены биссектрисы \(AN\) и \(BM\) , \(\angle ABM = 58^<\circ>\) . Найдите \(\angle BAN\) . Ответ дайте в градусах.

Сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна \(180^<\circ>\) , тогда \(\angle DAB + \angle ABC = 180^<\circ>\) .

Так как \(AN\) и \(BM\) – биссектрисы, то \(\angle BAN + \angle ABM = 0,5(\angle DAB + \angle ABC) = 90^<\circ>\) .

\(\angle ABM = 58^<\circ>\) , тогда \(\angle BAN = 90^ <\circ>— 58^ <\circ>= 32^<\circ>\) .

В параллелограмме \(ABCD\) проведена биссектриса \(AN\) , точка \(N\) лежит на стороне \(BC\) , причём \(NC = 3\) , \(AB = 5\) . Найдите периметр параллелограмма \(ABCD\) .

Так как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны, то \(\angle BNA = \angle NAD\) .

Так как \(AN\) – биссектриса, то \(\angle NAD = \angle BAN\) , откуда получаем \(\angle BNA = \angle BAN\) .

Таким образом, треугольник \(ABN\) – равнобедренный, \(BN = AB\) , тогда \(BC = BN + NC = 5 + 3 = 8\) . В итоге, периметр параллелограмма \(ABCD\) равен \(8 + 8 + 5 + 5 = 26\) .

В параллелограмме \(ABCD\) на стороне \(BC\) выбрана точка \(N\) так, что \(AB = BN\) , \(\angle B = 150^<\circ>\) . Найдите \(\angle NAD\) . Ответ дайте в градусах.

Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то \(\angle BAN = \angle BNA\) .

Так как сумма углов в треугольнике равна \(180^<\circ>\) , то \(\angle BAN = \angle BNA = 15^<\circ>\) .

Так как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны, то \(\angle NAD = \angle BNA = 15^<\circ>\) .

В параллелограмме \(ABCD\) биссектриса, выходящая из вершины \(B\) , пересекает \(AD\) в точке \(K\) и равна 6. \(\angle BAD = 60^\circ\) , \(AK:KD = 3:2\) . Найдите периметр параллелограмма \(ABCD\) .

\(\angle ABK = \angle KBC\) т.к. \(BK\) – биссектриса \(\angle ABC\) . \(\angle KBC = \angle BKA\) , т.к. это накрест лежащие углы при параллельных прямых. Тогда:

\[\angle ABK=\angle BKA =\frac<1><2>(180^\circ-\angle BAD)=\frac<1><2>(180^\circ-60^\circ)=60^\circ\]
\(\triangle ABK\) равносторонний, значит \(AB = BK = AK = 6\) . Тогда \(AK:KD = 6:KD = 3:2 \Rightarrow KD = 4\) . \(AD = AK + KD = 10\) , тогда:
\[P_ = 2\cdot6 + 2\cdot10 = 32\]

В параллелограмме \(ABCD\) биссектриса \(\angle BAD\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(K\) и делит ее пополам, а также пересекает продолжение стороны \(DC\) в точке \(L\) . Найдите периметр параллелограмма, если \(CL = 3\) .

\(\triangle CKL = \triangle BKA\) и являются равнобедренными. \[AB = CL = 3, \,\,\, BC = BK + KC = 2\cdot CK = 2\cdot CL = 2\cdot 3 = 6.\] Тогда \(P_ = 2\cdot3 + 2\cdot6 = 18\) .

В параллелограмме \(ABCD\) : точка \(K\) лежит на стороне \(AD\) , \(BK = 3\) – биссектриса \(\angle ABC\) , \(BC = 5\) , \(\angle BKA = 60^\circ\) . Найдите периметр параллелограмма.

\(\angle ABK = \angle BKA = 60^\circ\) \(\Rightarrow\) \(\angle BAD = 60^\circ\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ABK\) – равносторонний, тогда \(AB = BK = 3\) \(\Rightarrow\) \(P_ = 2\cdot3 + 2\cdot5 = 16\) .

Выпускники, которые рассчитывают успешно сдать ЕГЭ, в обязательном порядке должны повторить тему «Свойства биссектрисы параллелограмма». Как показывает статистика, при прохождении аттестационного испытания задачи по данному разделу планиметрии вызывают сложности у большого количества учащихся. При этом задания, в которых необходимо применить свойства биссектрисы угла параллелограмма, встречаются в ЕГЭ ежегодно. Таким образом, справляться с ними должны все учащиеся.

Образовательный портал «Школково» предлагает выстроить процесс подготовки к прохождению аттестационного испытания по-новому. Занимаясь вместе с нашим ресурсом, выпускники смогут определить наиболее сложные для себя темы и ликвидировать пробелы в знаниях.

Чтобы задания ЕГЭ не вызывали трудностей, рекомендуем вначале повторить основные понятия и свойства биссектрисы параллелограмма. Найти этот материал учащиеся смогут в разделе «Теоретическая справка».

Для того чтобы окончательно понять принцип решения задач по данному разделу планиметрии, мы рекомендуем выполнить соответствующие упражнения. Большая подборка заданий различного уровня сложности представлена в разделе «Каталог». Для каждого упражнения на сайте приведен алгоритм решения и дан правильный ответ. Последовательно выполняя их, учащиеся смогут понять, как правильно применять свойства биссектрисы внутреннего угла параллелограмма.

Получать новые знания и оттачивать собственные навыки по данной теме или, например, в решении задач на тему «Прямоугольник» в ЕГЭ учащиеся могут в онлайн-режиме, находясь в Москве или любом другом российском городе. При необходимости задание можно сохранить в разделе «Избранное». Благодаря этому вы сможете быстро найти интересующие примеры и обсудить алгоритмы нахождения правильного ответа с преподавателем.

Источник