Биссектриса угла параллелограмма делит противоположную ему сторону на отрезки

Биссектриса параллелограмма

Как решать задачи, в которых биссектриса параллелограмма делит противолежащую сторону на отрезки? Решение основано на доказанном свойстве биссектрисы параллелограмма.

Это свойство (биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник) после доказательства можно использовать при решении задач. Я предпочитаю доказывать этот факт в каждой задаче (полезное упражнение для отработки навыков).

Биссектриса острого угла параллелограмма делит противоположную сторону на отрезки 3 см и 2 см, считая от вершины тупого угла. Найти периметр параллелограмма.

Дано: ABCD — параллелограмм,

AF — биссектриса ∠BAD,

F ∈ BC, BF=3 см, FC=2 см.

1) ∠BAF=∠DAF (так как AF — биссектриса ∠BAD по условию).

2) ∠BFA=∠DAF (как внутренние накрест лежащие углы при BC ∥ AD и секущей AF).

3) Следовательно, ∠BAF=∠BFA.

4) Следовательно, треугольник ABF — равнобедренный с основанием AF (по признаку).

5) Следовательно, AB=BF=3 см.

6) BC=BF+FC, BC=3+2=5 см.

Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 1:3, считая от вершины острого угла. Периметр параллелограмма равен 90 см. Найти его стороны.

Дано: ABCD — параллелограмм, BK- биссектриса ∠ABC,

Найти: AB, AD, CD, BC.

1) Пусть k — коэффициент пропорциональности. Тогда AK=k см, KD=3k см, AD=AK+KD=k+3k=4k см.

2) ∠ABK=∠CBK (так как BK — биссектриса ∠ABC по условию).

3) ∠CBK=∠AKB (как внутренние накрест лежащие углы при BC ∥ AD и секущей BK).

4) Следовательно, ∠ABK=∠AKB.

5) Следовательно, треугольник ABK — равнобедренный с основанием BK (по признаку равнобедренного треугольника).

Источник

Решение №2561 Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 3:4, считая от вершины острого угла.

Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 3:4, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 33.

Источник: Ященко ЕГЭ 2022 (36 вар)

∠АКD = ∠KDC, как накрест лежащие, ∠АDK = ∠KDC, как образованные биссектрисой, отсюда:

Читайте также:  Торт на дембель кремовый прямоугольный

∠АDK = ∠АКD

Углы при основании треугольника АКD равны, значит он равнобедренный, отсюда:

AK = AD = 3x

Противоположные стороны параллелограмма равны:

AD = CD = 3x
DC = AB = 3x + 4x = 7x

Периметр параллелограмма равен:

3х + 3х + 7х + 7х = 20
20х = 33
х = 33/20 = 1,65

Найдём большую сторону параллелограмма:

7х = 7·1,65 = 11,55

Источник

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Биссектриса параллелограмма

Рассмотрим одну из базовых задач планиметрии — биссектриса угла параллелограмма делит противолежащую сторону на отрезки.

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

Пусть биссектриса угла A параллелограмма ABCD делит противолежащую сторону на отрезки BF=m, FC=n. Тогда:

1)∠BAF=∠FAD

(так как AF — биссектриса угла A по условию);

2) ∠ BFA= ∠ FAD (как внутренние накрест лежащие при AD ∥ BC и секущей AF);

3) следовательно, ∠ BAF= ∠ BFA;

4) следовательно, треугольник ABF — равнобедренный (по признаку);

5) следовательно, AB=BF=m.

Этот рисунок иллюстрирует случай, когда дана биссектриса острого угла параллелограмма.

Если в задаче сказано, что биссектриса тупого угла параллелограмма делит сторону на отрезки, рассуждения аналогичны.

На базе этой задачи существует много других задач. Например: биссектриса угла A параллелограмма ABCD делит противолежащую сторону BC на отрезки BF=m, FC=n. Найти периметр параллелограмма.

После доказательства того, что AB=BF=m, нахождение периметра не вызывает затруднений: P=2(AB+BC)=2(m+m+n).

Источник

Параллелограмм: свойство его биссектрисы

Биссектриса параллелограмма — это отрезок, соединяющий вершину параллелограмма с точкой на одной из двух противоположных сторон и делящий угол при вершине пополам.

\(\bullet\) Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

\(\bullet\) Биссектрисы соседних углов параллелограмма взаимно перпендикулярны: \(BL\perp AN\) .

\(\bullet\) Биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны: \(AN\parallel CP\) .

Биссектрисы углов \(B\) и \(C\) параллелограмма \(ABCD\) пересекаются на стороне \(AD\) . Найдите \(BC\) , если \(AB=4\) .

По свойству биссектрисы параллелограмма \(\triangle ABK\) и \(\triangle CDK\) – равнобедренные ( \(AB=AK\) , \(CD=DK\) ). Следовательно, \[BC=AD=AK+DK=AB+CD=2AB=8.\]

В параллелограмме \(ABCD\) проведены биссектрисы \(AN\) и \(BM\) , \(\angle ABM = 58^<\circ>\) . Найдите \(\angle BAN\) . Ответ дайте в градусах.

Сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна \(180^<\circ>\) , тогда \(\angle DAB + \angle ABC = 180^<\circ>\) .

Читайте также:  1год ребенок голова окружность

Так как \(AN\) и \(BM\) – биссектрисы, то \(\angle BAN + \angle ABM = 0,5(\angle DAB + \angle ABC) = 90^<\circ>\) .

\(\angle ABM = 58^<\circ>\) , тогда \(\angle BAN = 90^ <\circ>— 58^ <\circ>= 32^<\circ>\) .

В параллелограмме \(ABCD\) проведена биссектриса \(AN\) , точка \(N\) лежит на стороне \(BC\) , причём \(NC = 3\) , \(AB = 5\) . Найдите периметр параллелограмма \(ABCD\) .

Так как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны, то \(\angle BNA = \angle NAD\) .

Так как \(AN\) – биссектриса, то \(\angle NAD = \angle BAN\) , откуда получаем \(\angle BNA = \angle BAN\) .

Таким образом, треугольник \(ABN\) – равнобедренный, \(BN = AB\) , тогда \(BC = BN + NC = 5 + 3 = 8\) . В итоге, периметр параллелограмма \(ABCD\) равен \(8 + 8 + 5 + 5 = 26\) .

В параллелограмме \(ABCD\) на стороне \(BC\) выбрана точка \(N\) так, что \(AB = BN\) , \(\angle B = 150^<\circ>\) . Найдите \(\angle NAD\) . Ответ дайте в градусах.

Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то \(\angle BAN = \angle BNA\) .

Так как сумма углов в треугольнике равна \(180^<\circ>\) , то \(\angle BAN = \angle BNA = 15^<\circ>\) .

Так как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны, то \(\angle NAD = \angle BNA = 15^<\circ>\) .

В параллелограмме \(ABCD\) биссектриса, выходящая из вершины \(B\) , пересекает \(AD\) в точке \(K\) и равна 6. \(\angle BAD = 60^\circ\) , \(AK:KD = 3:2\) . Найдите периметр параллелограмма \(ABCD\) .

\(\angle ABK = \angle KBC\) т.к. \(BK\) – биссектриса \(\angle ABC\) . \(\angle KBC = \angle BKA\) , т.к. это накрест лежащие углы при параллельных прямых. Тогда:

\[\angle ABK=\angle BKA =\frac<1><2>(180^\circ-\angle BAD)=\frac<1><2>(180^\circ-60^\circ)=60^\circ\]
\(\triangle ABK\) равносторонний, значит \(AB = BK = AK = 6\) . Тогда \(AK:KD = 6:KD = 3:2 \Rightarrow KD = 4\) . \(AD = AK + KD = 10\) , тогда:
\[P_ = 2\cdot6 + 2\cdot10 = 32\]

В параллелограмме \(ABCD\) биссектриса \(\angle BAD\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(K\) и делит ее пополам, а также пересекает продолжение стороны \(DC\) в точке \(L\) . Найдите периметр параллелограмма, если \(CL = 3\) .

Читайте также:  54006 бассейн семейный прямоугольный 262 175 51см

\(\triangle CKL = \triangle BKA\) и являются равнобедренными. \[AB = CL = 3, \,\,\, BC = BK + KC = 2\cdot CK = 2\cdot CL = 2\cdot 3 = 6.\] Тогда \(P_ = 2\cdot3 + 2\cdot6 = 18\) .

В параллелограмме \(ABCD\) : точка \(K\) лежит на стороне \(AD\) , \(BK = 3\) – биссектриса \(\angle ABC\) , \(BC = 5\) , \(\angle BKA = 60^\circ\) . Найдите периметр параллелограмма.

\(\angle ABK = \angle BKA = 60^\circ\) \(\Rightarrow\) \(\angle BAD = 60^\circ\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ABK\) – равносторонний, тогда \(AB = BK = 3\) \(\Rightarrow\) \(P_ = 2\cdot3 + 2\cdot5 = 16\) .

Выпускники, которые рассчитывают успешно сдать ЕГЭ, в обязательном порядке должны повторить тему «Свойства биссектрисы параллелограмма». Как показывает статистика, при прохождении аттестационного испытания задачи по данному разделу планиметрии вызывают сложности у большого количества учащихся. При этом задания, в которых необходимо применить свойства биссектрисы угла параллелограмма, встречаются в ЕГЭ ежегодно. Таким образом, справляться с ними должны все учащиеся.

Образовательный портал «Школково» предлагает выстроить процесс подготовки к прохождению аттестационного испытания по-новому. Занимаясь вместе с нашим ресурсом, выпускники смогут определить наиболее сложные для себя темы и ликвидировать пробелы в знаниях.

Чтобы задания ЕГЭ не вызывали трудностей, рекомендуем вначале повторить основные понятия и свойства биссектрисы параллелограмма. Найти этот материал учащиеся смогут в разделе «Теоретическая справка».

Для того чтобы окончательно понять принцип решения задач по данному разделу планиметрии, мы рекомендуем выполнить соответствующие упражнения. Большая подборка заданий различного уровня сложности представлена в разделе «Каталог». Для каждого упражнения на сайте приведен алгоритм решения и дан правильный ответ. Последовательно выполняя их, учащиеся смогут понять, как правильно применять свойства биссектрисы внутреннего угла параллелограмма.

Получать новые знания и оттачивать собственные навыки по данной теме или, например, в решении задач на тему «Прямоугольник» в ЕГЭ учащиеся могут в онлайн-режиме, находясь в Москве или любом другом российском городе. При необходимости задание можно сохранить в разделе «Избранное». Благодаря этому вы сможете быстро найти интересующие примеры и обсудить алгоритмы нахождения правильного ответа с преподавателем.

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем