Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника авс вторично описанную пересекает окружность

Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника авс вторично описанную пересекает окружность

Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C . Пусть BK – биссектриса этого треугольника. Описанная окружность треугольника AKB пересекает вторично сторону BC в точке L . Докажите, что CB + CL = AB .

Решение 1

Отложим на продолжении BC за точку C отрезок CN = LC . Надо доказать, что AB = NB .
Так как четырёхугольник ABLK вписан, ∠ CKB = 180° – ∠ ALB = ∠ ALC (рис. слева). С другой стороны, прямоугольные треугольники ACL и ACN равны по двум катетам, так что ∠ ANC = ∠ ALC = ∠ CKB = 90° – ½ ∠ B . Тогда из треугольника ABN имеем
∠ BAN = 180° – ∠ B – ∠ ANB = 180° – ∠ B – (90° – ½ ∠ B ) = ∠ ANB . Следовательно, AB = NB .

Решение 2

Опустим из точки K перпендикуляр KH на гипотенузу AB (рис. справа). Прямоугольные треугольники KCB и KHB равны по гипотенузе и острому углу. Значит, CB = HB и KC = KH . В описанной окружности четырёхугольника AKLB на хорды AK и KL опираются равные углы, поэтому AK = KL . Значит, прямоугольные треугольники KHA и KCL равны по катету и гипотенузе, откуда HA = CL . Итак, CB + CL = HB + HA = AB .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2014/2015
этап
Вариант 4
класс
Класс 9
задача
Номер 9.6
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2014/2015
этап
Вариант 4
класс
Класс 10
задача
Номер 10.6
Читайте также:  Abc прямоугольный треугольник найти sabc

Проект осуществляется при поддержке и .

Источник

Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника авс вторично описанную пересекает окружность

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C вписан в окружность. Биссектриса угла A пересекает описанную окружность в точке A1, биссектриса угла B пересекает описанную окружность в точке B1, биссектриса угла C пересекает описанную окружность в точке C1.

б) Известно, что Найдите B1C1.

а) Углы A1BC и A1AC равны как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно,

б) Вычислим угол B:

таким образом,

По теореме синусов имеем:

где R — это радиус описанной около треугольника A1B1C1. окружности и 2R = AB.

Критерии оценивания выполнения задания Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника авс вторично описанную пересекает окружность

Точка O — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая OB вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке P.

а) Докажите, что

б) Найдите площадь треугольника APC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 4, а

а) Пусть O — центр вписанной окружности, следовательно, BO и CO − биссектрисы. Обозначим углы : Тогда и (опираются на одну дугу). Имеем: Но также как внешний угол. Откуда следует требуемое равенство:

б) Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180 o , следовательно, как хорды, стягивающие равные дуги. Следовательно, треугольник APC — равносторонний, его площадь равна

По теореме синусов, Следовательно, искомая площадь

Ответ: б)

Примечание Дмитрия Гущина.

Ученик, занимавшийся в математическом кружке, или посещавший факультатив, узнает в задаче стандартную конструкцию. Напомним (см. Лемму о трезубце):

1. Биссектриса угла треугольника делит пополам угол между радиусом описанной окружности и высотой, проведённой из вершины того же угла.

2. Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с серединным перпендикуляром к противоположной стороне лежит на описанной окружности данного треугольника. Эта точка равноудалена от центра вписанной окружности, а также двух вершин треугольника и центра вневписанной окружности, противолежащих данному углу треугольника.

В нашем случае эта точка — точка Р, тогда треугольник OPC равнобедренный, что сразу же доказывает пункт а). Пункт б): треугольник APC равнобедренный, а поскольку угол Р в нем равен 60°, то и равносторонний.

Ещё несколько задач на этот сюжет можно посмотреть здесь.

Критерии оценивания выполнения задания Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника авс вторично описанную пересекает окружность

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C вписан в окружность. Биссектриса угла A пересекает описанную окружность в точке A1, биссектриса угла B пересекает описанную окружность в точке B1, биссектриса угла C пересекает описанную окружность в точке C1.

б) Известно, что Найдите B1C1.

а) Углы A1BC и A1AC равны как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно,

б) Вычислим угол B:

таким образом,

По теореме синусов имеем:

где R — это радиус описанной около треугольника A1B1C1. окружности и 2R = AB.

Критерии оценивания выполнения задания Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника авс вторично описанную пересекает окружность

Около описана окружность. Прямая BO, где O — центр вписанной окружности, вторично пересекает описанную окружность в точке P.

а) Докажите, что

б) Найдите расстояние от точки P до прямой AC, если а радиус описанной окружности равен 18.

а) Обозначим углы треугольника ABC: Заметим, что как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу. Аналогично Тогда Но следовательно, треугольник AOP — равнобедренный, а тогда

б) Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180 o , следовательно, как хорды, стягивающие равные дуги. Следовательно, треугольник APC — равносторонний. Искомое расстояние d равно его высоте:

По теореме синусов,

Следовательно,

Ученик, занимавшийся в математическом кружке, или посещавший факультатив, узнает в задаче стандартную конструкцию. Напомним (см. Лемму о Трезубце):

1. Биссектриса угла треугольника делит пополам угол между радиусом описанной окружности и высотой, проведённой из вершины того же угла.

2. Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с серединным перпендикуляром к противоположной стороне лежит на описанной окружности данного треугольника. Эта точка равноудалена от центра вписанной окружности, а также двух вершин треугольника и центра вневписанной окружности, противолежащих данному углу треугольника.

Ещё несколько задач на этот сюжет можно посмотреть здесь.

Критерии оценивания выполнения задания Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

Читайте также:  Окружность проходит через вершину с квадратами
Поделиться с друзьями
Объясняем