Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника abc вторично пересекает окружность описанную

Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника abc вторично пересекает окружность описанную

Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C . Пусть BK – биссектриса этого треугольника. Описанная окружность треугольника AKB пересекает вторично сторону BC в точке L . Докажите, что CB + CL = AB .

Решение 1

Отложим на продолжении BC за точку C отрезок CN = LC . Надо доказать, что AB = NB .
Так как четырёхугольник ABLK вписан, ∠ CKB = 180° – ∠ ALB = ∠ ALC (рис. слева). С другой стороны, прямоугольные треугольники ACL и ACN равны по двум катетам, так что ∠ ANC = ∠ ALC = ∠ CKB = 90° – ½ ∠ B . Тогда из треугольника ABN имеем
∠ BAN = 180° – ∠ B – ∠ ANB = 180° – ∠ B – (90° – ½ ∠ B ) = ∠ ANB . Следовательно, AB = NB .

Решение 2

Опустим из точки K перпендикуляр KH на гипотенузу AB (рис. справа). Прямоугольные треугольники KCB и KHB равны по гипотенузе и острому углу. Значит, CB = HB и KC = KH . В описанной окружности четырёхугольника AKLB на хорды AK и KL опираются равные углы, поэтому AK = KL . Значит, прямоугольные треугольники KHA и KCL равны по катету и гипотенузе, откуда HA = CL . Итак, CB + CL = HB + HA = AB .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант	2014/2015
этап
Вариант	4
класс
Класс	9
задача
Номер	9.6
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант	2014/2015
этап
Вариант	4
класс
Класс	10
задача
Номер	10.6

Проект осуществляется при поддержке и .

Источник

Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника abc вторично пересекает окружность описанную

В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно АМ, пересекает сторону АС в точке N. АВ = 6; ВС = 5; АС = 9.

а) докажите, что биссектриса угла С делит отрезок МN пополам

б) пусть Р — точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Найдите отношение АР : РN.

а) Обозначим K точку пересечения отрезков AM и BN. Треугольник ABN равнобедренный, так как в нем AK является биссектрисой и высотой. Следовательно, AK является и медианой, то есть K — середина BN. Получаем, что AN = AB = 6, откуда NC = AC − AN = 3.

Рассмотрим треугольник ABC, биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: BM : MC = AB : AC, учитывая, что длина BC равна 5, получаем: BM = 2; MC = 3.

В треугольнике MNC стороны NC и MC равны, следовательно, треугольник MNC — равнобедренный, с основанием MN. Значит, биссектриса угла C также является медианой и высотой. Таким образом, получаем, что биссектриса угла С делит отрезок MN пополам.

б) Рассмотрим треугольник PMN: отрезок PO перпендикулярен прямой MN и делит её пополам, следовательно, треугольник PMN — равнобедренный с основанием MN. Значит, PM = PN и отношение AP : PN = AP : PM.

В треугольнике AMC отрезок CP — биссектриса, поэтому AP : PM = AC : MC = 3 : 1.

Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной AB угол 30°. Точка E лежит вне прямоугольника, причём ∠BEC = 120°.

а) Докажите, что ∠CBE = ∠COE.

б) Прямая OE пересекает сторону AD прямоугольника в точке K. Найдите EK, если известно, что BE = 40 и CE = 24.

а) По теореме о внешнем угле треугольника,

Значит, точки B, E, C, O лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы CBE и COE опираются на одну и ту же дугу, следовательно, ∠CBE = ∠COE.

б) По теореме косинусов,

Вписанные углы BEO и CEO опираются на равные хорды BO и CO, значит, EO — биссектриса угла BEC. Пусть M — точка её пересечения со стороной BC. По формуле для биссектрисы треугольника получаем:

По свойству биссектрисы треугольника значит,

По теореме о произведении пересекающихся хорд EM · MO = BM · CM, откуда находим, что

Треугольники COM и AOK равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому OK = OM. Следовательно, EK = EM + 2OM = 15 + 98 = 113.

Зная длину отрезка СМ = 21, можно искать ME, применяя теорему косинусов к треугольнику СМЕ. Пусть в нем МЕ = х, тогда

Поскольку треугольник СМЕ остроугольный, решение х = 9 постороннее. Посторонние корни появляются из-за того, что по стороне, прилежащему к ней углу и противолежащей данному углу стороне треугольник определен неоднозначно. Аналогично для треугольника BME: можно найти два корня уравнения на длину EM: 15 и 25, больший корень является посторонним.

Медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC = 3MB.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Найдите сумму квадратов медиан AA₁ и CC₁, если известно, что AC = 12.

а) Известно, что медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины. Значит,

Поэтому треугольники AB₁B и CB₁B равнобедренные, причём ∠B₁AB = ∠ABB₁ и ∠B₁CB = ∠CBB₁. Сумма всех этих четырёх углов равна 180°. Тогда ∠ABC = ∠ABB₁ + ∠CBB₁ = 90°. Отсюда следует, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Треугольник A₁BA прямоугольный. Поэтому

Аналогично, из прямоугольного треугольника C₁BC находим:

Сложим полученные равенства:

Аналоги к заданию № 505537: 509323 509344 511579 Все

Доказать можно проще:

Треугольник — равнобедренный,

— высота треугольника — средняя линия треугольника

Значит по теореме о перпендикулярности прямой, параллельной перпендикуляру.

Можно еще проще. значит — центр описанной окружности, а — ее диаметр. Угол — прямой, как опирающийся на диаметр.

На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина стороны AB.

а) Докажите, что

б) Найдите расстояние от точки M до центров квадратов, если AC = 10, BC = 32 и ∠ACB = 30°.

а) Достроим треугольник ABC до параллелограмма ALBC, тогда M − точка пересечения его диагоналей.

AL = BC = KC . AC = CD.

Тогда треугольники LAC и KCD равны по двум сторонам и углу между ними. Откуда LC = KD, а что и требовалось доказать.

б) Пусть O₁ — центр квадрата CKFB. Тогда MO₁ — средняя линия треугольника AKB. Найдем теперь AK по теореме косинусов из треугольника ACK.

откуда

Очевидно, расстояние до другого центра сведется к нахождению DB, которое будет таким же.

На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опустили перпендикуляры HK и HE.

а) Докажите, что точки A, B, K и E лежат на одной окружности.

б) Найдите радиус этой окружности, если AB = 12, CH = 5.

а) Предположим для определённости, что точка E лежит на катете BC, а точка K — на катете AC. Проведём отрезок KE и заметим, что он является гипотенузой прямоугольного треугольника KCE, подобного треугольнику ABC.

Рассмотрим углы четырёхугольника ABEK. Если ∠ABE = α то

а

Сумма двух противоположных углов в четырёхугольнике 180°, следовательно, четырёхугольник вписан в окружность.

б) Радиус окружности, проходящей через точки A, B и E, найдем по теореме синусов:

Из подобия треугольников CEH и ABC находим

откуда

Следовательно, искомый радиус

Приведем решение п. б) присланное пользователем сайта.

Продолжим отрезок КН за точку Н и точку его пересечения окружностью назовем Р. Очевидно, следовательно, Заметим, что как вписанные, опирающиеся на одну дугу. Значит, то есть — прямой. Таким образом, и CHPB — параллелограмм, в котором BP = CH = 5, а AP диаметр окружности. Найдем его из прямоугольного треугольника ABP:

Следовательно, искомый радиус

Ответ :

Источник