Алгоритм построения касательной к окружности

Построение касательной к окружности

Построение касательной к окружности

Касательную из точки А к окружности можно провести следующим образом:

1. На отрезке ОА как на диаметре строят окружность радиуса R=0,5[OA];

2. Точки 1 и 2 пересечения полученной окружности с заданной определяют положение точек касания;

3. Отрезки [1A] и [2A] определяют положение касательных t₁ и t₂ проведенных из точки А к окружности.

Построение внешней касательной к двум дугам окружности

Внешнее касание к двум дугам разного диаметра выполняется следующим образом:

1. Проводят окружность радиусом R-r из центра О дуги большего радиуса;

2. К полученной окружности строят касательную МO*, проходящую через центр дуги меньшего радиуса;

3. На продолжении луча ОМ отмечаем точку касания 1;

4. Из центра O* проводим луч параллельный ОМ до пересечения с дугой и отмечаем точку касания 2;

5. Через точки 1 и 2 проводим искомую касательную t.

Построение внутренней касательной к двум дугам окружности

Внутреннее касание к двум дугам разного диаметра выполняется следующим образом:

1. Проводят окружность радиусом R+r из центра О дуги большего радиуса;

2. К полученной окружности строят касательную МO*, проходящую через центр дуги меньшего радиуса;

3. На луче ОМ отмечаем точку касания 1 — точка пересечения луча с дугой радиуса R;

4. Из центра O* проводим луч параллельный ОМ до пересечения с дугой радиуса r и отмечаем точку касания 2;

Источник

Восемь способов построения касательной к окружности

Государственное бюджетное образовательное учреждение

Проектная работа по геометрии.

Восемь способов построения касательной к окружности.

9 биолого-химический класс

заместитель директора по учебной работе,

Высшее проявление духа – это разум.

Высшее проявление разума – это геометрия.

Клетка геометрии – треугольник. Он так же

неисчерпаем, как и вселенная. Окружность – душа геометрии.

Познайте окружность, и вы не только познаете душу

геометрии, но и возвысите душу свою.

Построить касательную к окружности с центром О и радиусом R, проходящую через точку А, лежащую вне окружности

Построения касательной к окружности, не требующие обоснования, опирающегося на теорию параллельных прямых.

Построение №1.

1. Проведу отрезок ОА

2. Найду К – середину ОА

3. Построю окружность (К; КА).

4. Отмечу точки пересечения окружности (О; r) и окружности (К; КА) С и В.

5. Проведу АВ и ОВ.

Треугольник ОВА – прямоугольный, так как он вписан в окружность, и гипотенуза совпадает с диаметром окружности (К; КА). Следовательно, АВО =90°. Для окружности (О; r) ОВ – радиус. ОВ АВ, следовательно, АВ – касательная по признаку касательной.

Аналогично, АС – касательная к окружности.

Построение № 1 основывается на факте, который гласит, что касательная окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Для прямой имеется лишь одна точка касания с окружностью.

Через данную на прямой точку можно провести лишь одну перпендикулярную прямую.

1. Построю окружность (А; АО)

2. Построю окружность (О; 2R)

3. Построенные окружности пересекаются в точках М и N.

4. Отрезки ОМ и ОN пересекают данную окружность (О;R) в точках С и В.

5. АВ и АС – искомые касательные.

1. Проведу АО – радиус окружности (А;АО)

АМ и AN также радиусы окружности (А;АО), следовательно

2. ОВ = ВМ = ОС = CN = 0,5OM= 0,5ON, так как ОМ – радиус окружности (O;2R), а ОС – радиус окружности (О;R)

3. Рассмотрим треугольник ОАМ. В нем АМ=ОА, тогда Δ ОАМ равнобедренный по определению. ОВ= ВМ, следовательно, АВ – медиана и высота ΔОАМ, по свойству равнобедренного треугольника.

4. Так как в ΔОАМ АВ – высота, следовательно, АВО = 90°

5. ОВ – радиус, АВО = 90°, следовательно, АВ – касательная по признаку.

6. Аналогично в равнобедренном треугольнике AON АС – касательная (АСО = 90°, ОС – радиус)

7. Итак, АВ и АС – касательные

1. Построю концентрические окружности (О; r) и (O; OA)

2. Проведу ОА; ОА пересекает окружность (О; r) в точке Р.

3. Проведу перпендикуляр МN к радиусу ОА в точке Р.

4. MN пересекает окружность(О; ОА) в точках М и N.

5. Проведу ОМ и ОN. Эти отрезки пересекают окружность (О; r) в точках В и С соответственно.

6. АВ и АС– искомые касательные.

1. ОМ =ОА т. к. радиусы

2. В треугольниках ОМР и ОВА:

ОР = ОВ как радиусы, ОМ = ОА как радиусы, следовательно, ΔОМР = ΔОВА по двум сторонам и углу между ними.

3. Следовательно ОРМ =ОВА= 90° ( как соответствующие углы в равных треугольниках), следовательно, АВ – касательная по признаку касательной.

4. Аналогично, АС – касательная

1. Построю окружность (О, 2r).

2. Построю произвольную касательную к окружности (О; r), пересекающую окружность (О, 2r) в точках M и N.

3. Рассмотрим поворот относительно точки О на угол АОМ, равный α.

4. Точку М надо повернуть на угол α, следовательно она перейдет точку А

Точку М надо повернуть на (180 — α) следовательно, точка М перейдет в точку К.

Тогда, так как угол α остается тем же, AD и АК – касательные по признаку

Построения касательной к окружности одной линейкой, одним циркулем.

1. Прямая ОА пересекает окружность (О, r) в точках Р и Q.

2. Проведу через точку А произвольную прямую, пересекающую окружность(О, r) в точках М и N.

3. Прямая PN пересекает прямую QM в точке L.

4. Прямая PM пересекает прямую QN в точке K.

5. Прямая KL пересекает окружность в точках B и С.

6. АВ и ВС – искомые касательные.

1. Т. к. треугольники PQN и PQM вписаны в окружность и сторона PQ является диаметром окружности, то эти треугольники прямоугольные.

2. В треугольнике PQL отрезки PM и QN – высоты, пересекающиеся в точке К, поэтому KL – третья высота. Тогда KL PQ.

3. Пусть DPK=α, DQK=β. Тогда ctg α : ctg β= |PD|:|DQ| (1).

Построю перпендикуляр к прямой АР в точке А, пересекающий прямую РМ в точке S. Тогда |PA|=|AS|ctg α и |AQ|=|AS|ctg AQS.

4. Так как AQS =AMS = 180° — PMN = PQN = β, то |AQ| = |AS|ctg β. Поэтому |PA| : |AQ| = ctg α : ctg β (2).

5. Сопоставляя (1) и (2) получу |PD| : |PA| = |DQ| : |AQ|, или

После раскрытия скобок и упрощений нахожу, что |OD|·|OA|=R².

5. Из соотношения |OD|·|OA|=R² следует, что |OD|:R=R: |OA|, то есть треугольники ODB и OBA подобны. Поскольку ODB= 90°, то OBA=90°.Следовательно, прямая АВ – искомая касательная, что и требовалось доказать.

Построение № 6.

1. Прострою окружность (A; |OA|).

2. Найду раствор циркуля, равный 2R, для чего выберу на окружности (О; R) точку S и отложу три дуги, содержащие по 60º: SP=PQ=QT=60°. Точки S и T диаметрально противоположны.

3. Строю окружность (О; ST), пересекающую w1Что это за окружность? в точках М и N.

4. Теперь построю середину МО. Для этого строю окружности (O; OM) и (М; МО), а затем для точек М и О находим на них диаметрально противоположные точки U и V.

5. Далее строю окружность (U; UM), пересекающую (М; МО) в точках К и L.

6. Наконец, построю окружность (К; КМ) и (L; LM), пересекающиеся в искомой точке В – середине МО.

Треугольники КМВ и UMK равнобедренные и подобные. Поэтому из того, что КМ= 0,5МU, следует, что МВ=0,5МК=0,5R. Итак, точка В – искомая точка касания. Аналогично можно найти точку касания С.

Построения касательной к окружности, основанные на свойствах секущих, биссектрис.

1. Построю прямую ОА, она пересечен данную окружность в точках Р и Q.

2. Построю на отрезке АQ как на диаметре окружность.

3. Пересеку построенную окружность касательной l, проведенной через точку Р к окружности (О; r), и получу точки М и N.

4. Проведу МО и NО, они пересекут окружность (О; r) в точках В и С соответственно.

5. АВ и АС — искомые касательные.

По свойству секущей АМ²=АР·АQ. Поэтому окружность (А;АМ) пересечет окружность (О;R) в точках В и С касания искомых касательных АВ и АС.

Построение № 8

1. Построю окружность (А;АР), пресекающую прямую АР в точке D.

2. Построю окружность w на диаметре QD

3. Пересеку ее перпендикуляром к прямой АР в точке А и получу точки М и N.

Очевидно, что АМ²=АN²=АD·AQ=AP·AQ. Тогда окружность (А;АМ) пересекает (О;R) в точках касания В и С. АВ и АС — искомые касательные.

Источник

Урок «Построение касательных к окружностям»

Построение касательных к окружностям

Рассмотрим задачу, лежащую в основе решения других задач на проведение касательных к окружностям.

Пусть из точки А (рис. 1) необходимо провести касательные к окружности с центром в точке О .

Для точного построения касательных необходимо определить точки касания прямых к окружности. Для этого точку А следует соединить сточкой О и разделить отрезок ОА пополам. Из середины этого отрезка – точки С , как из центра, описать окружность, диаметр которой должен быть равен отрезку ОА . Точки К 1 и К 2 пересечения окружностей с центром в точке С и с центром в точке О являются точками касания прямых АК 1 и АК 2 к заданной окружности.

Правильность решения поставленной задачи подтверждается тем, что радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной к окружности. Углы ОК 1 А и ОК 2 А являются прямыми, поскольку опираются на диаметр АО окружности с центром в точке С .

При построении касательных к двум окружностям различают касательные внутренние и внешние . Если центра заданных окружностей располагаются по одну сторону от касательной, то ее считают внешней, а если центры окружностей находятся по разные стороны от касательной, — внутренние.

Пусть заданы две окружности с центрами в точках О 1 и О 2 (рис. 2), имеющие радиусы соответственно R 1 и R 2 . Требуется провести внешние касательные к заданным окружностям.

Для точного построения следует определить точки касания прямых и заданных окружностей. Если радиусы окружностей с центрами О 1 и О 2 начать последовательно уменьшать на одно и то же значение, то можно получить ряд концентрических окружностей меньших диаметров. При этом в каждом случае уменьшения радиуса касательные к меньшим окружностям будут параллельны искомым. После уменьшения обоих радиусов на размер меньшего радиуса R 2 окружность с центром О 2 обратится в точку, а окружность с центром О 1 преобразится в концентрическую окружность радиусом R 3 , равным разности радиусов R 1 и R 2 .

Используя описанный ранее способ, из точки О 2 проведем внешние касательные к окружности радиусом R 3 , соединим точки О 1 и О 2 , разделим точкой С отрезок О 1 О 2 пополам и проведем радиусом СО 1 дугу, пересечение которой с заданной окружностью определит точки касания прямых О 2 К 1 и О 2 К 2 .

Точка А 1 и А 2 касания искомых прямых с большей окружностью располагается на продолжении прямых О 1 К 1 и О 1 К 2 . Точки В 1 и В 2 касания прямых с меньшей окружностью находятся на перпендикулярах с основанием О 2 соответственно к вспомогательным касательным О 2 К 1 и О 2 К 2 . Располагая точками касания можно провести искомые прямые А 1 В 1 и А 2 В 2 .

Пусть заданы две окружности с центрами в точках О 1 и О 2 (рис. 2), имеющие радиусы соответственно R 1 и R 2 . Требуется провести внутренние касательные к заданным окружностям.

Для определения точек касания прямых с окружностями используем рассуждения, аналогичные приведенным при решении предыдущей задачи. Если уменьшить радиус R 2 до нуля, то окружность с центром О 2 обратиться в точку. Однако в этом случае для сохранения параллельности вспомогательных касательных с искомыми радиус R 1 следует увеличить на размер R 2 и провести окружность радиусом R 3 , равным сумме радиусов R 1 и R 2 .

Из точки О 2 проведем касательные к окружности радиусом R 3 , для чего соединим точки О 1 и О 2 , разделим точкой С отрезок О 1 О 2 пополам и проведем дугу окружности с центром в точке С и радиусом СО 1 . Пересечение дуги с окружностью радиусом R 3 определит положение точек К 1 и К 2 касания вспомогательных прямых О 2 К 1 и О 2 К 2 .

Точка А 1 и А 2 касания искомых прямых с окружностью радиусом R 1 находится на пересечении этой окружности с отрезком О 1 К 1 и О 1 К 2 . Для определения точек В1 и В2 касания искомых прямых с окружностью радиусом R 2 следует из точки О2 восставить перпендикуляры к вспомогательным прямым О2К1 и О2К2 до пересечения с заданной окружностью. Располагая точками касания искомых прямых и заданных окружностей, проведем прямые А1В1 и А2В2 .

Источник