Abcdefa1b1c1d1e1f1 правильная шестиугольная призма найдите объем призмы

Дана правильная шестиугольная призма

245343. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, E, F, A1

Построим указанный многогранник на эскизе:

Это пирамида имеющая общее основание с призмой и высотой равной высоте призмы. Объём пирамиды будет равен:Ответ: 4

245344. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, В, С, A1, B1, C1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.

Построим указанный многогранник на эскизе: Полученный многогранник является прямой призмой. Объём призмы равен произведению площади основания и высоты. Высота исходной призмы и полученной общая, она равна трём (это длина бокового ребра). Остаётся определить площадь основания, то есть треугольника АВС.

Так как призма правильная, то в её основании лежит правильный шестиугольник. Площадь треугольника АВС равна одной шестой части этого шестиугольника. Следовательно площадь АВС равна 1.

Вычисляем:Ответ: 3

245345. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, В, D, E, A1, B1, D1, E1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.Построим указанный многогранник на эскизе:

Полученный многогранник является прямой призмой.

Высота исходной призмы и полученной общая, она равна двум (это длина бокового ребра). Остаётся определить площадь основания, то есть четырёхугольника АВDЕ.

Так как призма правильная, то в её основании лежит правильный шестиугольник. Площадь четырехугольника АВDЕ равна четырём шестым этого шестиугольника. Почему? Подробнее об этом посмотрите информацию здесь. Следовательно площадь АВDЕ будет равна 4. Вычисляем:

245346. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, В, C, D, A1, B1, С1, D1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.Построим указанный многогранник на эскизе:

Полученный многогранник является прямой призмой.

Высота исходной призмы и полученной общая, она равна двум (это длина бокового ребра). Остаётся определить площадь основания, то есть четырёхугольника АВCD. Отрезок AD соединяет диаметрально противоположные точки правильного шестиугольника, а это означает, что он разбивает его на две равные трапеции. Следовательно площадь четырёхугольника АВCD (трапеции) равна трём.

Вычисляем:

245347. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.

Читайте также:  Как изменится критический объем производства

Построим указанный многогранник на эскизе:

Полученный многогранник является пирамидой с основанием АВС и высотой ВВ1.

*Высота исходной призмы и полученной общая, она равна трём (это длина бокового ребра).

Остаётся определить площадь основания пирамиды, то есть треугольника АВC. Она равна одной шестой площади правильного шестиугольника, являющегося основанием призмы. Вычисляем:

Источник

Репетитор по математике

Кунгурова Ксения Анатольевна

Занятия дистанционно (skype) и в очной форме.

Задание 14 Ященко 36Вар. 2021

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 сторона основания AB равна 4, а боковое ребро AA1 равно 5√3. На ребре DD1 отмечена точка M так, что DM:MD1=3:2. Плоскость α параллельна прямой A1F1 и проходит через точки M и E.

а) Докажите, что сечение призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 плоскостью α – равнобедренная трапеция;

б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка F, а основанием – сечение призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 плоскостью α.

  1. Точки M и E лежат в одной плоскости – соединим их.
  2. Так как плоскость α || A1F1 и содержит точку E, проведем через т. E прямую, параллельную A1F1: A1F1||AF||EB.
  1. Так как плоскость α || A1F1 и содержит точку M, проведем через т. M прямую, параллельную A1F1: A1F1||AF||CD||MK.
  2. Четырехугольник BEMK – искомое сечение призмы плоскостью α

MK||BE (по построению)

∆BKC = ∆EMD (по двум катетам: BC=ED, CK=DM т.к. MK||CD) → BK=EM.

Значит, BEMK – равнобедренная трапеция.

2) Для нахождения высоты hпир пирамиды FBKME введем систему координат как показано на рисунках и по формуле найдем расстояние от точки F до плоскости BME:

По теореме косинусов из ∆AFB найдем BF: BF=4√3

Найдем координаты точки F и точек плоскости основания: B,E,M.

Источник

Abcdefa1b1c1d1e1f1 правильная шестиугольная призма найдите объем призмы

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершины C, A1 и F1.

а) Поскольку ABCDEFA1B1C1D1E1F1 — правильная шестиугольная призма, то ABCDEF — правильный шестиугольник. Тогда ∠CBA = 120°. По теореме косинусов имеем

Поскольку ABCDEF — правильный шестиугольник, DA = 2AB = 10. Тогда По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник CA1D — прямоугольный. Тогда CDCA1. Поскольку С1D1 || CD, имеем C1D1CA1.

б) Поскольку ABCDEF — правильный шестиугольник, ACCD, поэтому угол A1CA равен углу между искомым сечением и плоскостью ABCDEF. Так как A1ACA,

Площадь шестиугольника равна Тогда, по теореме о площади проекции, площадь искомого сечения

Читайте также:  Генератор champion объем масла

Примечание. Пункт а), конечно, можно доказать и проще, сославшись на теорему о трех перпендикулярах. Проекцией прямой CA1 на плоскость верхнего основания является прямая C1A1, перпендикулярная прямой C1D1.

а) Докажите, что плоскость β пересекает ребро AA1 в такой точке M, что AM : A1M = 1 : 2.

б) Найдите угол, который образует плоскость β с плоскостью основания призмы, если известно, что AB = 1, AA1 = 3.

а) Искомое отношение не будет зависеть от длин ребер заданной призмы. Поэтому мы сами вправе выбрать длину ребер при основании призмы и длину ее боковых ребер.

Пусть для определенности стороны основания призмы , будет равны 1, а боковые ребра равны 3.

Поместим заданную призму в прямоугольную декартову систему координат, как показано на рисунке. Выпишем координаты некоторых точек:

Зная, что точки B, D1, F1 лежат в плоскости β, будем искать уравнение этой плоскости:

Вычтем уравнение (3) из уравнения (2):

Подставим полученное значение а в уравнение (1).

Теперь значение b подставим в уравнение (2):

Итак, уравнение плоскости β имеет вид:

Точа M лежит на прямой AA1. Значит, она может быть задана своими координатами: То есть:

Итак, (0; −1; 1). AM = 1, A1M = 3 − 1 = 2; AM : A1M = 1 : 2, что и требовалось доказать.

б) Очевидно, уравнение плоскости нижнего основания призмы имеет вид: z = 0. Если угол между секущей плоскостью β и основанием призмы равен φ, то

Ответ: б)

Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1. Через точки B, D1, F1 проведена плоскость

а) Докажите, что плоскость α перпендикулярна плоскости DCC1.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если известно, что AB = 1, AA1 = 3.

а) Пусть для определенности стороны основания, как и в подпункте б) будет равны 1, а боковые ребра равны 3. Поместим заданную призму в декартову систему координат, как показано на рисунке. Выпишем координаты некоторых точек: Зная, что точки B, D1, F1 лежат в плоскости β, будем искать уравнение секущей плоскости α:

Из первого уравнения: b = d.

Из уравнения (3) вычтем уравнение (2), получим:

Подставив полученные значения а и b в уравнение (3), будем иметь:

Таким образом, уравнение плоскости имеет вид: или

А уравнение плоскости DCC1: или

Нормальные векторы этих двух плоскостей:

значит, откуда:

б) Пусть плоскость α пересекает ребро призмы CC1 в точке N, а ребро AA1 в точке M. Подставляя известные абсциссы и ординаты этих точек в уравнение плоскости α, найдем их аппликаты:

Аналогично

Итак, полученное сечение представляет собой пятиугольник BND1F1M, проекцией которого на нижнее основание призмы будет пятиугольник ABCDF.

Читайте также:  Big data объем скорость разнообразие

Нетрудно найти косинус угла между плоскостью α и нижним основанием призмы. Нормальный вектор плоскости α был найден раньше, он имеет вид:

Нижнее основание призмы имеет уравнение: z = 0, ее нормальный вектор

Если φ — угол между сечением и указанным основанием призмы, то

Ответ: б)

Все ребра правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 равны

а) Построить сечение призмы плоскостью AFC1.

б) Найдите площадь этого сечения.

а) Поместим призму в декартову систему координат, как показано на рисунке.

Пусть ребра призмы равны t. Тогда имеем:

Найдем уравнение секущей плоскости, которая имеет вид: ax + by + cz + d = 0. Пусть Так как точки A, F, C1 лежат в этой плоскости, то:

Вычитая из второго уравнения первое, получим: tb = 0; b = 0. Тогда:

;

Итак, искомое уравнение имеет вид: или Это — уравнение секущей плоскости. Ее нормальный вектор:

Итак, искомое уравнение имеет вид: или Это — уравнение секущей плоскости. Ее нормальный вектор:

Найдем координаты пересечения секущей плоскости и прямых BB1 и EE1. Искомая точка Поскольку эта точка лежит на секущей плоскости, то ;

Таким образом, секущая плоскость пересекает ребро BB1 в точке то есть в середине ребра BB1. Аналогично найдем точку L — пересечение секущей плоскости и ребра EE1. Также L окажется серединой ребра EE1. Ясно, что сечение будет проходить через вершину D1. Искомым сечением будет шестиугольник AKC1D1LF.

б) Уравнение плоскости нижнего основания призмы: z = 0, ее нормальный вектор

Если угол между секущей плоскостью и нижним основанием призмы обозначить α, то

В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найти расстояние между прямыми и

Задачу решим координатно-векторным методом.

Соединим точку с точками и отрезками. Четырехугольник — параллелограмм, поскольку Отсюда

Рассмотрим плоскость

Очевидно, Следовательно, расстояние между скрещивающимися прямыми и равно расстоянию между прямой и плоскостью

Введем декартову систему координат с началом в точке O — центре нижнего основания призмы. Ось x направим по OK, где K — середина AB, ось y — по ось z — по ( — центр верхнего основания призмы).

Выпишем координаты нужных точек:

Уравнение плоскости будем искать в виде Координаты точек обязаны удовлетворить уравнению этой плоскости. Пусть

Решим систему уравнений:

Итак, искомое уравнение имеет вид: или

Искомое расстояние найдем по формуле где — координаты любой точки прямой В качестве такой точки выберем

Ответ:

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем