Abcda1b1c1d1 прямоугольный параллелепипед найти aa1

Задачи по теме «Прямоугольный параллелепипед» (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками.
Другими словами, это прямая призма, основания которой – прямоугольники.
(эти определения эквивалентны).

1) противоположные грани равны между собой;

2) боковые ребра перпендикулярны основаниям, то есть являются высотами;

3) как следствие, формула для объема принимает вид: \(<\Large>\) , где \(a,\ b,\ c\) – три различных боковых ребра.

\(\blacktriangleright\) Диагональ прямоугольного параллелепипеда – это отрезок, соединяющий две противоположные (не лежащие в одной грани) вершины.

1) Все диагонали равны, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам;

2) Диагональ \(d\) можно найти по формуле: \(<\Large=a^2+b^2+c^2>>\) .

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – прямоугольный параллелепипед, площадь полной поверхности которого равна 12. Найдите разность между площадью квадрата со стороной \(AA_1 + A_1D_1 + D_1C_1\) и суммой площадей квадратов со сторонами \(AA_1\) , \(A_1D_1\) , \(D_1C_1\) .

Обозначим \(AA_1 = a\) , \(A_1D_1 = b\) , \(D_1C_1 = c\) , тогда площадь полной поверхности \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равна \[S_<\text<полн>> = 2ab + 2ac + 2bc.\] Площадь квадрата со стороной \(a + b + c\) равна \((a + b + c)^2\) , сумма площадей квадратов со сторонами \(a\) , \(b\) , \(c\) равна \(a^2 + b^2 + c^2\) , тогда искомая величина равна

\[\begin (a + b + c)^2 — (a^2 + b^2 + c^2) &= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc — (a^2 + b^2 + c^2) =\\ &= 2ab + 2ac + 2bc = S_<\text<полн>> = 12. \end\]

В параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) : \(AB_1 = \sqrt<13>\) , \(AD_1 = 5\) , \(AC = 2\sqrt5\) . Чему равна сумма всех ребер параллелепипеда?

Заданные отрезки являются диагоналями соответствующих граней параллелепипеда. Значит, каждый отрезок можно выразить через теорему Пифагора соответствующего прямоугольного треугольника: \(AB_1^2 = AB^2 + AA_1^2\) , \(AC^2 = AB^2 + AD^2\) , \(AD_1^2 = AD^2 + AA_1^2\) . Из этих уравнений можно найти неизвестные стороны параллелепипеда:
\(\displaystyle AB^2 = \frac <2>= \frac<13 + 20 - 25> <2>= 4\) \(\Rightarrow\) \(AB = 2\) ;
\(\displaystyle AA_1^2 = \frac <2>= \frac<13 + 25 - 20> <2>= 9\) \(\Rightarrow\) \(AA_1 = 3\) ;
\(\displaystyle AD^2 = \frac <2>= \frac<20 + 25 - 13> <2>= 16\) \(\Rightarrow\) \(AD = 4\) .
Мы нашли три различных ребра параллелепипеда. Всего в параллелепипеде \(12\) ребер – по \(4\) каждого вида. Тогда сумма всех ребер будет равна: \[S = 4\cdot2 + 4\cdot3 + 4\cdot4 = 36.\]

Читайте также:  Около каких четырехугольников нельзя описать окружность

Дан прямоугольный параллелепипед, основания \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) которого являются квадратами со стороной \(3\sqrt2\) . Пусть \(M\) – точка пересечения диагоналей грани \(AA_1D_1D\) , \(N\) – точка пересечения диагоналей грани \(DD_1C_1C\) . Найдите \(MN\) .

Так как \(AD=DC\) , то грани \(AA_1D_1D\) и \(DD_1C_1C\) равны, следовательно, и их диагонали равны, значит, \(A_1D=C_1D\) . Так как диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам, то \(A_1M=MD=DN=NC_1\) . Рассмотрим \(\triangle A_1C_1D\) : в нем \(MN\) является средней линией, следовательно, она равна половине основания \(A_1C_1\) , которое в свою очередь является диагональю квадрата \(A_1B_1C_1D_1\) , следовательно, равно \(3\sqrt2\cdot \sqrt2=6\) . Следовательно, \(MN=3\) .

Дана прямая призма, в основании которой лежит правильный шестиугольник \(ABCDEF\) . Эту призму вписали в прямоугольный параллелепипед \(MNKPM_1N_1K_1P_1\) так, что все вершины обоих оснований призмы лежат на сторонах соответственно обоих оснований параллелепипеда. Причем \(BC\) и \(EF\) лежат на \(MN\) и \(KP\) соответственно, а точки \(A\) и \(D\) – на сторонах \(MP\) и \(NK\) соответственно. Во сколько раз объем призмы отличается от объема параллелепипеда?

Рассмотрим картинку. Так как параллелепипед прямоугольный, то он прямой и в основании лежит прямоугольник. Следовательно, его боковые ребра (например, \(MM_1\) ) параллельны боковым ребрам призмы и равны, так как основания призмы вписаны в основания параллелепипеда (то есть лежат в одних и тех же плоскостях). Отсюда следует, что высоты призмы и параллелепипеда одинаковы. Пусть \(h\) – длина их высоты.
Рассмотрим отдельно основание. По свойству правильного шестиугольника \(BF\perp FE\) . Так как \(MNKP\) – прямоугольник, то есть \(MP\perp PK\) , то \(MP\parallel BF\) . Заметим также, что вообще говоря \(MP=BF\) , а \(PK=AD\) .
Пусть \(a\) – сторона шестиугольника. Его угол равен \(120^\circ\) , следовательно, по теореме косинусов: \[BF^2=a^2+a^2-2a\cdot a\cdot \cos120^\circ=3a^2 \quad\Rightarrow\quad MP=a\sqrt3.\] Заметим также, что \(\angle MAB=30^\circ\) , следовательно, в треугольнике \(MAB\) : \[\sin30^\circ=\dfrac \quad\Rightarrow\quad MB=\dfrac12a.\] Следовательно, \(MN=\frac12a+a+\frac12a=2a\) .
Значит, \(MNKP\) – прямоугольник со сторонами \(a\sqrt3\) и \(2a\) .

Площадь правильного шестиугольника равна \(\dfrac<3\sqrt3>2a^2\) , следовательно, объем призмы \[V_=\dfrac<3\sqrt3>2a^2h,\] а объем параллелепипеда \[V_=a\sqrt3\cdot 2a\cdot h=2\sqrt3a^2h\] Следовательно, \[\dfrac>>=\dfrac34=0,75.\]

Источник

Abcda1b1c1d1 прямоугольный параллелепипед найти aa1

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.

б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB1C1.

Читайте также:  Точка пересечения диагоналей равнобедренного треугольника

а) В плоскости AA1D1 проведём через точку E прямую, параллельную TF. Пусть она пересекает ребро A1D1 или его продолжение в точке G. Плоскость EFT проходит через точку G. Треугольник EGA1 подобен равнобедренному треугольнику FTB1, в котором FB1 = B1T = 1. Отсюда EA1 = A1G = 2, значит, точка G совпадает с точкой D1.

б) В плоскости BB1C1 из точки B1 опустим перпендикуляр B1K на отрезок FT. В плоскости EFT через точку K проведём перпендикуляр к FT, который пересекает ED1 в точке L. Тогда ∠B1KL — угол между плоскостью EFT и плоскостью BB1C1 или смежный с ним. Из равнобедренного треугольника FB1T

Из равнобедренной трапеции EFTD1 находим

Точка L — середина отрезка ED1, поэтому она удалена от сторон AA1 и AD1 параллелепипеда на 1. Значит, B1L является диагональю параллелепипеда со сторонами 1, 1 и 4. Отсюда Из теоремы косинусов для треугольника B1KL находим

Ответ: б)

Источник

195. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если АС1 = 12 см и диагональ BD1 составляет с плоскостью грани AA1D1D угол в 30°, а с ребром DD1 — угол в 45°.

* В задачах этого параграфа двугранный угол с ребром АВ, на разных гранях которого отмечены точки С и D, для краткости будем называть так: двугранный угол CABD.

195. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если АС1 = 12 см и диагональ BD1 составляет с плоскостью грани AA1D1D угол в 30°, а с ребром DD1 — угол в 45°.

АВ ⊥ пл. АА1D1D, поэтому отрезок AD1 есть проекция BD1 на плоскость грани AA1D1D.

Так как диагонали прямоугольного параллелепипеда равны, то

(т.к. он лежит против угла 30 о , то равен половине ги

Из ΔBDD1 — прямоугольного:

По теореме Пифагора:

Решебник по геометрии за 10 класс (Л.С.Атанасян, 2001 год),
задача №195
к главе «Глава II Перпендикулярность прямых и плоскостей. §3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей.».

Источник

Abcda1b1c1d1 прямоугольный параллелепипед найти aa1

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.

б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB1C1.

а) В плоскости AA1D1 проведём через точку E прямую, параллельную TF. Пусть она пересекает ребро A1D1 или его продолжение в точке G. Плоскость EFT проходит через точку G. Треугольник EGA1 подобен равнобедренному треугольнику FTB1, в котором FB1 = B1T = 1. Отсюда EA1 = A1G = 2, значит, точка G совпадает с точкой D1.

б) В плоскости BB1C1 из точки B1 опустим перпендикуляр B1K на отрезок FT. В плоскости EFT через точку K проведём перпендикуляр к FT, который пересекает ED1 в точке L. Тогда ∠B1KL — угол между плоскостью EFT и плоскостью BB1C1 или смежный с ним. Из равнобедренного треугольника FB1T

Читайте также:  Запиши названия прямоугольных тупоугольных остроугольных треугольников

Из равнобедренной трапеции EFTD1 находим

Точка L — середина отрезка ED1, поэтому она удалена от сторон AA1 и AD1 параллелепипеда на 1. Значит, B1L является диагональю параллелепипеда со сторонами 1, 1 и 4. Отсюда Из теоремы косинусов для треугольника B1KL находим

Ответ: б)

Критерии оценивания выполнения задания Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

Abcda1b1c1d1 прямоугольный параллелепипед найти aa1

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.

б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB1C1.

а) В плоскости AA1D1 проведём через точку E прямую, параллельную TF. Пусть она пересекает ребро A1D1 или его продолжение в точке G. Плоскость EFT проходит через точку G. Треугольник EGA1 подобен равнобедренному треугольнику FTB1, в котором FB1 = B1T = 1. Отсюда EA1 = A1G = 2, значит, точка G совпадает с точкой D1.

б) В плоскости BB1C1 из точки B1 опустим перпендикуляр B1K на отрезок FT. В плоскости EFT через точку K проведём перпендикуляр к FT, который пересекает ED1 в точке L. Тогда ∠B1KL — угол между плоскостью EFT и плоскостью BB1C1 или смежный с ним. Из равнобедренного треугольника FB1T

Из равнобедренной трапеции EFTD1 находим

Точка L — середина отрезка ED1, поэтому она удалена от сторон AA1 и AD1 параллелепипеда на 1. Значит, B1L является диагональю параллелепипеда со сторонами 1, 1 и 4. Отсюда Из теоремы косинусов для треугольника B1KL находим

Ответ: б)

Критерии оценивания выполнения задания Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем