- Решение №2119 Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно.
- Задача 29483 В трапеции ABCD основание AD в два раза.
- Условие
- Решение
- Abcd трапеция доказать bc равно df
- Abcd трапеция доказать bc равно df
- Решение 2459. Основания ВС и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, BD = 15. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Решение №2119 Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно.
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 35, BC = 21, CF:DF = 5:2.
Источник: ОГЭ Ященко 2022 (36 вар)
Проведём диагональ BD трапеции ABCD, которая пересекает прямую EF в точке О:
По условию CF:DF = 5:2, пусть СF = 5x, а DF = 2x, тогда:
СD = CF + DF = 5x + 2x = 7x
Прямая ЕF||AD, ЕF||BC, значит сторону AB она делит в тех же отношениях:
BE = 5x
AE = 2x
AB = 7x
ΔBDC подобен ΔОDF по двум равным углам (∠D – общий, ∠BCD = ∠OFD – как соответственные при двух параллельных прямых и секущей). Из подобия сторон найдём ОF:
ΔABD подобен ΔEBO по двум равным углам (∠B – общий, ∠BAD = ∠OEB – как соответственные при двух параллельных прямых и секущей). Из подобия сторон найдём ОE:
Найдём EF:
EF = OF + OE = 6 + 25 = 31
Источник
Задача 29483 В трапеции ABCD основание AD в два раза.
Условие
В трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC. Внутри трапеции взяли точку M так, что углы ABM и DCM прямые.
а) Докажите, что AM=DM.
б) Найдите угол BAD, если угол ADC равен 70°, а расстояние от точки M до прямой AD равно стороне BC.
Решение
а)
Продолжим стороны AB и DC до пересечения в точке P.
Cм. рис.1.
Так как ABCD трапеция, ( BC|| AD), то и треугольники BPC и APD подобны.
Из подобия следует пропорциональность сторон.
AP:BP=DP:CP=AD:BC
По условию
AD в два раза больше основания BC.
Значит, AB=BP и DC=CP,
т.е. В – середина BР, а С – середина DP.
MB и MC – серединные перпендикуляры к сторонам треугольника APD, а значит, точка M – центр окружности, описанной около Δ APD
АM = DM =R.
Pасстояние от точки M до стороны AD равно высоте В равнобедренного Δ AMD.
По условию MK=BC; AD=2BC
Значит АК=КD=MK
Треугольники АКМ и DKM — прямоугольные, равнобедренные.
∠ МАК= ∠ MDK=45 градусов.
Значит ∠ AMD=90 градусов
См. рис. 2
∠ AMD — центральный угол, измеряется дугой, на которую опирается.
∠ APD — вписанный угол, измеряется половиной дуги, на которую опирается
∠ APD =45 градусов.
Сумма углов треугольника APD равна 180 градусов, значит
∠ BAD=180 градусов — ∠ APD — ∠ ADP=180 градусов — ∠ APD — ∠ ADC=180 градусов- 45 градусов — 70 градусов = 65 градусов.
О т в е т. ∠ BAD= 65 градусов. 
Источник
Abcd трапеция доказать bc равно df
Дана трапеция ABCD, где AB = BC = CD, точка E лежит на плоскости так, что BE ⊥ AD и CE ⊥ BD
а) Докажите, что углы AEB и BDA равны.
б) Найдите площадь трапеции, если AB = 50, а 
а) Докажем, что точка E лежит на окружности, описанной вокруг трапеции ABCD. В самом деле, углы BEC и BDA равны как углы с соответственно перпендикулярными сторонами, а углы BDA и BDC равны как опирающиеся на равные дуги. Следовательно, ∠BEC = ∠BDC, а потому и точки B, E, D, C лежат на одной окружности. Тогда углы BEA и BDA равны как опирающиеся на одну дугу.
б) По доказанному ранее углы AEB, BDA, BDC равны, откуда ,
Пусть K — точка пересечения AD и BE, тогда из прямоугольного треугольника ABK получаем 
и
.
Так как трапеция ABCD — равнобедренная, а BK — её высота, средняя линия трапеции равна 
Окончательно получаем:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Источник Abcd трапеция доказать bc равно df Решение 2459. Основания ВС и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, BD = 15. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.Задание 24. Основания ВС и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, BD = 15. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Источник |
