Abcd трапеция ad 2bc найти
Источник задания: Решение 2451. ЕГЭ 2018 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов.
Задание 16. В трапеции ABCD основание AD в два раза меньше основания ВС. Внутри трапеции взяли точку М так, что углы ВАМ и CDM прямые.
а) Докажите, что ВМ = СМ.
б) Найдите угол ABC, если угол BCD равен 64°, а расстояние от точки М до прямой ВС равно стороне AD.
а) Пусть прямые АВ и CD пересекаются в точке L. Тогда треугольники BLC и ALD подобны с коэффициентом подобия 2, поскольку ВС = 2AD. Значит, А и D — середины BL и CL соответственно. Таким образом, AM и DM — серединные перпендикуляры в треугольнике BLC, а М — центр описанной около этого треугольника окружности, поэтому BM = CM как радиусы этой окружности.
б) Пусть Н — середина ВС, тогда МН — серединный перпендикуляр к стороне ВС. Значит, треугольники ВНМ и СНМ равнобедренные прямоугольные, поэтому 
. По свойству вписанного угла
,
.
Источник
Произвольная трапеция
Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна \(360^\circ\) .
Свойства трапеции:
\(\blacktriangleright\) Сумма углов при боковой стороне равна \(180^\circ\) .
\(\blacktriangleright\) Диагонали делят трапецию на четыре треугольника, два из которых подобны, а два другие – равновелики.
\(\blacktriangleright\) Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.
Площадь трапеции
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
Одно из оснований трапеции в \(5\) раз меньше ее средней линии. Во сколько раз оно меньше другого основания трапеции?
Обозначим меньшее основание трапеции за \(x\) , большее – за \(y\) . Тогда \(5x\) – длина средней линии трапеции. Так как средняя линия равна полусумме оснований, то \[x+y=2\cdot 5x\quad\Leftrightarrow\quad y=9x.\] Следовательно, меньшее основание в 9 раз меньше большего.
В трапеции \(ABCD\) : \(CD = BC\) , \(\angle BCD = 140^\circ\) , \(\angle ABD = 100^\circ\) . Найдите модуль разности острых углов трапеции.
\(\triangle BCD\) – равнобедренный \(\Rightarrow\) \(\angle CBD = \angle CDB = 20^\circ\) ; \(\angle BAD = 180^\circ — \angle ABD — \angle CBD = 180^\circ — 100^\circ — 20^\circ = 60^\circ\) ; \(\angle ADC = 180^\circ — 140^\circ = 40^\circ\) . Тогда \(|\angle ADC — \angle BAD| = |40^\circ — 60^\circ| = |-20^\circ| = 20^\circ\) .
В трапеции \(ABCD\) с основаниями \(BC = 5\) и \(AD = 2\cdot BC\) проведена высота \(BE\) . Найдите отношение площади трапеции к длине этой высоты.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Полусумма оснований трапеции \(ABCD\) равна \(0,5(5 + 2\cdot 5) = 7,5\) . Площадь трапеции \(ABCD\) равна \(7,5 BE\) , тогда \(\dfrac
В трапеции \(ABCD\) с основаниями \(BC = 4\) и \(AD > BC\) угол \(A\) – прямой. Известно, что \(CD = 6\) , \(\angle D = 60^<\circ>\) . Найдите среднюю линию трапеции \(ABCD\) .
Из точки \(C\) опустим высоту \(CE\) . В прямоугольном треугольнике \(CDE\) : \(\angle ECD = 30^<\circ>\) . В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в \(30^<\circ>\) равен половине гипотенузы, тогда \(DE = 0,5\cdot CD = 3\) . При этом \(ABCE\) – прямоугольник, \(AE = BC = 4\) , тогда \(AD = AE + ED = 4 + 3 = 7\) .
В трапеции средняя линия равна полусумме оснований. \(0,5(BC + AD) = 0,5(4 + 7) = 5,5\) , значит, длина средней линии равна \(5,5\) .
В трапеции \(ABCD\) средняя линия составляет \(\dfrac<4><5>\) одного из оснований. Найдите отношение длины другого основания к длине средней линии.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Полусумма оснований трапеции \(ABCD\) составляет \(0,8\) одного из оснований, тогда сумма оснований трапеции \(ABCD\) составляет \(2\cdot 0,8 = 1,6\) этого основания, обозначим его за \(AD\) . Тогда \(BC + AD = 1,6AD\) , откуда \(BC = 0,6AD\) . Средняя линия равна \(0,8AD\) , тогда отношение длины основания \(BC\) к длине средней линии равно \(0,6 : 0,8 = 0,75\) .
Основания \(AD\) и \(BC\) трапеции \(ABCD\) равны соответственно \(20\) и \(12\) , одна из боковых сторон равна \(10\) , площадь трапеции \(ABCD\) равна \(80\) . Найдите острый угол трапеции \(ABCD\) , который образует эта боковая сторона с одним из оснований. Ответ дайте в градусах.
Пусть \(AB = 10\) , \(BE\) – перпендикуляр к \(AD\) , точка \(E\) лежит на \(AD\) .
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, тогда \(80 = 0,5(20 + 12)\cdot BE\) .
\(BE = 5 = 0,5\cdot AB\) . Треугольник \(ABE\) , – прямоугольный, причём \(BE = 0,5\cdot AB\) , тогда угол, лежащий против катета \(BE\) , равен \(30^<\circ>\) .
\(\angle BAE = 30^<\circ>\) – единственный острый угол трапеции \(ABCD\) , который образует \(AB\) с одним из оснований.
В трапеции \(ABCD\) диагонали пересекаются в точке \(O\) . Площадь \(\triangle AOD\) относится к площади \(\triangle ODC\) , как \(8:3\) . В каком отношении состоит меньшее основание \(BC\) трапеции \(ABCD\) к большему основанию \(AD\) ?
Высота, опущенная из вершины \(D\) на сторону \(AO\) в \(\triangle AOD\) и на сторону \(OC\) в \(\triangle ODC\) будет одной и той же. Значит, \(\frac
Всем выпускникам, которые готовятся к сдаче ЕГЭ по математике, будет полезно освежить в памяти тему «Произвольная трапеция». Как показывает многолетняя практика, планиметрические задачи из этого раздела вызывают у многих старшеклассников определенные сложности. При этом решить задачи ЕГЭ на тему «Произвольная трапеция» требуется при прохождении и базового, и профильного уровня аттестационного испытания. Следовательно, уметь справляться с подобными упражнениями должны все выпускники.
Как подготовиться к экзамену?
Большинство планиметрических задач решаются путем классических построений. Если в задаче ЕГЭ требуется найти, к примеру, площадь трапеции, изображенной на рисунке, стоит отметить на чертеже все известные параметры. После этого вспомните основные теоремы, относящиеся к ним. Применив их, вы сможете найти правильный ответ.
Чтобы подготовка к экзамену была действительно эффективной, обратитесь к образовательному порталу «Школково». Здесь вы найдете весь базовый материал по темам «Произвольная трапеция или «Равнобедренная трапеция», который поможет вам успешно сдать ЕГЭ. Основные свойства фигуры, формулы и теоремы собраны в разделе «Теоретическая справка».
«Прокачать» навыки решения задач выпускники смогут также на нашем математическом портале. В разделе «Каталог» представлена большая подборка соответствующих упражнений разного уровня сложности. Перечень заданий наши специалисты регулярно обновляют и дополняют.
Последовательно выполнять упражнения учащиеся из Москвы и других городов могут в режиме онлайн. При необходимости любое задание можно сохранить в разделе «Избранное» и в дальнейшем вернуться к нему, чтобы обсудить с преподавателем.
Источник
Abcd трапеция ad 2bc найти
Дана равнобедренная трапеция, в которой AD = 3BC, CM — высота трапеции.
а) Доказать, что M делит AD в отношении 2 : 1.
б) Найдите расстояние от точки C до середины BD, если AD = 18, AC = 
а) Поскольку ABCD равнобедренная трапеция,
тогда 
откуда 
б) В треугольнике AMC угол 
Треугольники BCO и MOD равны, поскольку 
угол CBO равен углу ODM, а угол C равен углу M. Тогда 
откуда O — середина BD, CO — искомое расстояние. Из равенства треугольников BCO и MOD следует равенство отрезков CO и OM, откуда 
Приведем решение п. б) Романа Прокопенко.
В треугольнике CMD по теореме Пифагора найдем 
откуда CD = 10. В треугольнике BCD точка О — середина отрезка BD, поэтому CO медиана. Найдем ее длину по формуле длины медианы:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 | ||||||
| Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 | ||||||
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Источник Abcd трапеция ad 2bc найтиВ трапеции ABCD с основаниями ВС и AD углы ABD и ACD прямые. а) Докажите, что АВ = CD. б) Найдите AD, если AB = 2, BC = 7. а) Углы ABD и ACD прямые, поэтому вершины четырехугольника ABCD лежат на окружности диаметром AD. Значит, АВ = CD, поскольку б) Пусть ВН — высота трапеции ABCD. Трапеция вписана в окружность, поэтому она равнобедренная. Следовательно, AD = 2AH + BC. Тогда откуда получаем уравнение Приведем другую идею решения пункта б). Так как BH — высота прямоугольного треугольника ABD, квадрат катета AB равен произведению проекции этого катета на гипотенузу, то есть проекции AH на AD. Но Приведем решение пункта б) Анастасии Белоусовой. По теореме Птолемея произведение диагоналей четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон:
Трапеция равнобедренная, следовательно, ее диагонали равны, тогда
Из прямоугольного треугольника ACD получим Пусть x = AD, тогда
|
Его положительным корнем является AH = 0,5, и тогда AD = 8.
откуда получаем 
или 
