Abcd равнобедренная трапеция ac биссектриса

Abcd равнобедренная трапеция ac биссектриса

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD.

а) Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD .

б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC = 15 и BD = 8,5.

а) Из равнобедренности треугольников следовательно, AC — биссектриса угла BAD.

б) Поскольку BA = BD = BC = 8,5, точки A, D и C лежат на окружности радиуса 8,5 с центром в точке B. Продолжим основание BC за точку B до пересечения с этой окружностью в точке E. Тогда EC — диаметр окружности, а ADCE — равнобедренная трапеция. Поэтому AE = CD, а так как точка A лежит на окружности с диаметром CE, получаем, что Из прямоугольного треугольника CAE находим, что Следовательно, CD = AE = 8.

Критерии оценивания выполнения задания Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

Abcd равнобедренная трапеция ac биссектриса

Задание 24. В равнобедренной трапеции ABCD с большим основанием AD биссектриса угла А пересекается с биссектрисой угла С в точке F, а также пересекает сторону CD в точке К. Известно, что угол AFC равен 150°. Найдите FK, если CF = 12√3.

Основания трапеции ABCD параллельны друг другу (), следовательно, (как накрест лежащие). Также в трапеции , значит, . Получаем, что . Так как AK и CF1 – биссектрисы, то

Решаем систему, имеем:

По условию угол AFC=150º, значит, угол CFK=30º, следовательно,

Получаем прямоугольный треугольник CFK с гипотенузой CF. Так как CF=12√3, то

Источник

Решение №2250 В равнобедренной трапеции ABCD с большим основанием AD биссектриса угла А пересекается с биссектрисой угла С в точке F, а также пересекает сторону CD в точке К.

В равнобедренной трапеции ABCD с большим основанием AD биссектриса угла А пересекается с биссектрисой угла С в точке F, а также пересекает сторону CD в точке К. Известно, что прямые АВ и CF параллельны. Найдите CF, если FK = 4√3.

Источник: ОГЭ Ященко 2022 (36 вар)

ABCD – равнобедренная трапеция, углы при основаниях равны, сумма соседних (односторонних) углов равна 180°:

∠А + ∠С = 180°

AK и CF – биссектрисы, делят углы пополам, тогда:

∠KAD + ∠DCF = 90°

По условию АВ||CP, следовательно, ∠ВАF = ∠CFK, как соответственные, ∠ВАF = ∠KAD, как образованные биссектрисой, тогда:

∠CFK + ∠KCF = 90°

Тогда в ΔСАK найдём ∠FKC:

∠FKC = 180 – ( ∠CFK + ∠KCF) = 180° – 90° = 90°

Получаем прямоугольный ΔCFK с гипотенузой CF и прямым углом ∠К = 90°.

E точка пересечении прямых AK и BC, углы ∠FAD = ∠CEK, как накрест лежащие углы, следовательно, ΔCFE – равнобедренный (CF = CE) с высотой CK. Значит, CK также и биссектриса, получаем:

∠ВСF = ∠FCK = ∠KCE = 180°/3 = 60°

Рассмотрим прямоугольный ΔFCK с углом ∠C = 60º и стороной FK = 4√3 .

Через синус угла С найдём искомую сторону СF :

Разделим обе части на √3:

FC = 2·4 = 8

Источник

Решение №1221 В равнобедренной трапеции АВСD с большим основанием АD …

В равнобедренной трапеции АВСD с большим основанием АD биссектриса угла А пересекается с биссектрисой угла С в точке F, а также пересекает сторону СD в точке К. Известно, что угол АFС равен 150°. Найдите СК, если FК = 6√3.

Источник: Ященко ОГЭ 2021 (36 вар)

По условию ∠АFC = 150°, ∠АFC и ∠СFK смежные их сумма равна 180°, найдём ∠СFK:

∠СFK = 180° – ∠АFC = 180° – 150° = 30°

∠СFK = ∠AFN = 30° как вертикальные углы.
Обозначим углы полученные делением биссектрисc за х и у.

∠BCN = ∠NCD = x
∠BAK = ∠KAD = y

Сумма противолежащих углов равнобедренной трапеции равна 180º, значит:

∠A + ∠C = 180°
2y + 2x = 180°
y + x = 90°
y = 90° – x

∠BCN = ∠DNC = x как накрест лежащие при BC||AD и секущей CN.
В ΔAFN сумма углов равна 180°, ∠ANF = 180° – x, как смежные.

y + 30° + 180° – x = 180°
y – x = –30°
Подставим значение у из прошлого уравнения:
90° – xx = –30°
– 2х = –120°
x=\frac<–120><–2>=60°=\angle FCK

По теореме синусов из ΔFCK найдём сторону СK:

Источник

В равнобедренной трапеции ABCD с бОльшим основанием AD биссектриса угла А пересекается с биссектрисой угла С в точке F, а также пересекает сторону CD в точке К. Известно, что угол AFC равен 150°. Найдите FK, если CF=12√3.

Т.к. биссектрисы АК и CE делят углы A и С пополам, то обозначим на чертеже равные углы одинаковыми цветами.

1) ∠А + ∠В = 180° – односторонние углы при пересечении параллельных прямых ВС и AD секущей АВ.

Т.к. трапеция равнобедренная, то ∠А + ∠С = 180°.

2) Т.к. АК и СЕ – биссектрисы, то сумма половинок углов А и С будет равна 90. Как это расписать?

∠BAF + ∠FAE + ∠BCF + ∠FCK = 180°

2 ∠BAF + 2 ∠BCF = 180° / :2

∠BAF + ∠BCF = 90°

3) В четырехугольнике ABCF сумма углов равна 360. Найдем угол В:

∠В = 360° – ( ∠BAF + ∠BCF + ∠AFC) = 360° – ( 90° + 150°) = 120°.

Т.к. трапеция равнобедренная, то ∠С = 120° тоже, а значит ∠BCF = ∠FCK = 60° (CF — биссектриса).

4) Рассмотрим треугольник CFK.

∠FCK = 60°, ∠СFK = 180° – 150° = 30° (углы AFC и CFK – смежные), следовательно, ∠CKF = 90°, т.е. треугольник CFK – прямоугольный.

Не можешь найти нужную задачу? Предложи свою! Наша группа в VK.

Источник

Читайте также:  Как сшить прямоугольную наволочку для подушки
Поделиться с друзьями
Объясняем