Abc прямоугольный треугольник найти sabc

Abc прямоугольный треугольник найти sabc

В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Основание высоты SO этой пирамиды является серединой ребра AB.

а) Докажите, что SA = SC.

б) Найдите угол между плоскостями SAC и ABC, если AB = 30, SC = 17, СB = 24.

а) По свойству прямоугольного треугольника ABC медиана CO равна половине гипотенузы AB, иными словами CO = AO. Тогда наклонные SA и SC имеют равные проекции AO и CO соответственно, следовательно, SA = SC, что и требовалось.

б) Опустим из точки O перпендикуляр OK на AC. Так как OK — проекция SK на плоскость ABC, то по теореме о трех перпендикулярах SKAC, и ∠SKO — искомый по определению угла между плоскостями.

В прямоугольном треугольнике SAO имеем: по доказанному ранее, = 15. Тогда по теореме Пифагора Далее, так как O — середина AB, а OK || BC (как перпендикуляры к AC), отрезок OK — средняя линия треугольника ABC, откуда Наконец, , а

Ответ:

Критерии оценивания выполнения задания Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

Abc прямоугольный треугольник найти sabc

В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Основание высоты SO этой пирамиды является серединой ребра AB.

а) Докажите, что SA = SC.

б) Найдите угол между плоскостями SAC и ABC, если AC = 16, AB = 20, SA = 26.

а) По свойству прямоугольного треугольника ABC медиана CO равна половине гипотенузы AB, иными словами CO = AO. Тогда наклонные SA и SC имеют равные проекции AO и CO соответственно, следовательно, SA = SC, что и требовалось.

б) Опустим из точки O перпендикуляр OK на AC. Так как OK — проекция SK на плоскость ABC, то по теореме о трех перпендикулярах SKAC, и ∠SKO — искомый по определению угла между плоскостями.

В прямоугольном треугольнике SAO имеем: по доказанному ранее, = 10, тогда по теореме Пифагора SO = 24. Далее, так как O — середина AB, а OK || BC (как перпендикуляры к AC), то OK — средняя линия треугольника ABC, откуда Далее, по теореме Пифагора, а значит,

Ответ:

Источник

Теорема о трех перпендикулярах

\(\blacktriangleright\) Определение: прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой из этой плоскости.

\(\blacktriangleright\) Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

\(\blacktriangleright\) Наклонная (к плоскости) \(AB\) – отрезок прямой, не перпендикулярной плоскости, один из концов которого лежит на плоскости (основание наклонной).

\(\blacktriangleright\) Перпендикуляр (к плоскости) \(AA_1\) – отрезок прямой, перпендикулярной плоскости, один из концов которого лежит на плоскости (основание перпендикуляра).

\(\blacktriangleright\) Проекция наклонной \(BA_1\) – отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной.

Теорема о трех перпендикулярах (ТТП):

Пусть в плоскости \(\alpha\) через основание наклонной \(BA\) (т. \(B\,\) ) проведена прямая \(a\) . Если эта прямая перпендикулярна проекции \(BA_1\) этой наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной.

\(AA_1\perp \alpha; \ a\in \alpha.\) Если \(a\perp BA_1\) , то \(a\perp BA\) .

Обратная ТТП:

Пусть в плоскости через основание наклонной проведена прямая. Если эта прямая перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной.

\(AA_1\perp \alpha; \ a\in \alpha.\) Если \(a\perp BA\) , то \(a\perp BA_1\) .

Пусть \(SABC\) – правильная треугольная пирамида с вершиной \(S\) . Найдите угол между \(AS\) и \(BC\) . Ответ дайте в градусах.

Так как пирамида правильная, то высота пирамиды \(SO\) падает в точку пересечения медиан основания. Пусть \(AA_1\) – медиана основания. Тогда \(AO\) – проекция наклонной \(AS\) на плоскость основания. Так как \(AO\) – часть \(AA_1\) , а \(AA_1\perp BC\) (медианы правильного треугольника являются также и высотами), то по теореме о трех перпендикулярах ( \(SO\perp (ABC), AO\perp BC\,\) ) наклонная \(AS\) перпендикулярна \(BC\) . Следовательно, \(\angle (AS, BC)=90^\circ\) .

Дана пирамида \(SABC\) с высотой \(SA\) . Известно, что в основании лежит прямоугольный треугольник с прямым углом \(C\) . Найдите угол между ребрами \(SC\) и \(BC\) . Ответ дайте в градусах.

Так как \(SA\) – высота пирамиды, то \(SA\perp (ABC)\) . Заметим, что \(AC\) – проекция наклонной \(SC\) на плоскость \(ABC\) . Так как \(AC\perp BC\) , то по теореме о трех перпендикулярах \(SC\perp BC\) , следовательно, угол между \(SC\) и \(BC\) равен \(90^\circ\) .

Дана пирамида \(SABC\) с высотой \(SA=8\) . Известно, что \(SK\) равно \(10\) и перпендикулярно \(BC=5\) , причем \(K\) лежит на \(BC\) . Найдите площадь треугольника \(ABC\) .

Так как \(SA\) – высота пирамиды, то \(SA\perp (ABC)\) . Заметим, что \(AK\) – проекция наклонной \(SK\) на плоскость \(ABC\) . Так как \(SK\perp BC\) , то по теореме о трех перпендикулярах \(AK\perp BC\) , следовательно, \[S_<\triangle ABC>=\dfrac12AK\cdot BC.\] Треугольник \(SAK\) прямоугольный, следовательно, по теореме Пифагора \[AK=\sqrt=6.\] Следовательно, \[S_<\triangle ABC>=\dfrac12\cdot 6\cdot 5=15.\]

Дана пирамида \(SABC\) с высотой \(SA\) , в основании которой лежит прямоугольный треугольник с прямым углом \(A\) . Найдите угол между прямыми \(SB\) и \(AC\) . Ответ дайте в градусах.

Так как \(SA\) – высота пирамиды, то \(SA\perp (ABC)\) . Заметим, что \(AB\) – проекция наклонной \(SB\) на плоскость \(ABC\) . Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах (так как \(SA\perp(ABC), AB\perp AC\,\) ) наклонная \(SB\) перпендикулярна \(AC\) , то есть угол между ними равен \(90^\circ\) .

Дана пирамида \(SABC\) с высотой \(SA\) . \(H\) – такая точка на \(AB\) , что \(CH\perp AB\) . \(K\) – такая точка на \(SB\) , что \(HK\perp SB\) , причем \(SC=13\) , \(SK=12\) , \(KB=2\) . Найдите площадь треугольника \(SBC\) .

Так как \(SA\) – высота пирамиды, то \(SA\perp (ABC)\) . Следовательно, \(SA\) перпендикулярно любой прямой из \((ABC)\) , значит, \(SA\perp CH\) . Тогда \(CH\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(SA\) и \(AB\) из плоскости \(SAB\) , значит, \(CH\perp (SAB)\) .
Заметим, что тогда \(HK\) – проекция наклонной \(CK\) на эту плоскость. Значит, по теореме о трех перпендикулярах \(CK\perp SB\) .
По теореме Пифагора из \(\triangle SCK\) : \[CK=\sqrt=5.\] Следовательно, \[S_<\triangle SBC>=\dfrac12CK\cdot SB=\dfrac12\cdot 5\cdot 14=35.\]

Из точки \(N\) на плоскость прямоугольника \(ABCD\) опустили перпендикуляр \(NB\) . Известно, что \(AD = 7\) , \(NA = 24\) . Найдите \(ND\) .

Так как \(NB\) – перпендикуляр к плоскости \((ABCD)\) , то \(AB\) – проекция \(NA\) на \(ABCD\) . Так как \(ABCD\) – прямоугольник, то \(AD\) перпендикулярна \(BA\) , следовательно по теореме о трех перпендикулярах \(AD\) перпендикулярна \(NA\) и треугольник \(NAD\) – прямоугольный.

По теореме Пифагора \[AD^2 + NA^2 = ND^2,\] откуда \(ND^2 = 625\) , тогда \(ND = \pm 25\) . Так как длина – неотрицательна, то \(ND = 25\) .

Отрезки \(AB\) и \(CD\) перпендикулярны, отрезки \(DC\) и \(NC\) перпендикулярны. Отрезки \(AB\) и \(NC\) перпендикулярны, \(AD : AB\) как \(1 : 2\) . Найдите \[\dfrac<\angle AND> <\angle ANB>= \,?\]

Так как \(NC\) перпендикулярен \(DC\) и \(AB\) , причём \(DC\) и \(AB\) пересекаются, то \(NC\) перпендикулярен плоскости \((ABC)\) . Тогда \(DC\) – проекция \(ND\) на \((ABC)\) , но \(DC\) перпендикулярен \(AB\) , следовательно, по теореме о трех перпендикулярах \(ND\) перпендикулярен \(AB\) .

Так как \(AD : AB\) как \(1 : 2\) , то \(D\) – середина \(AB\) , тогда \(ND\) в треугольнике \(ANB\) является медианой и высотой, следовательно, треугольник \(ANB\) – равнобедренный и \[\angle AND = \dfrac<1><2>\angle ANB\qquad\Rightarrow\qquad\dfrac<\angle AND> <\angle ANB>= \dfrac<1><2>.\]

Как правильно применить теорему о трех перпендикулярах в задачах, которые ежегодно встречаются в ЕГЭ? С приближением аттестационного испытания этот вопрос становится все более актуальным для учащихся старших классов общеобразовательных школ.

О том, как правильно применяется теорема о трех перпендикулярах в задачах ЕГЭ и как научиться оперативно справляться с подобными заданиями, вы узнаете, посетив образовательный портал «Школково». Наши специалисты подготовили весь необходимый базовый материал. Благодаря доступному изложению информации, учащиеся с любым уровнем подготовки смогут научиться правильно решать задачи с применением теоремы о трех перпендикулярах в ЕГЭ. Ознакомиться с теоретическим материалом вы можете, посетив раздел «Теоретическая справка».

После этого, чтобы лучше закрепить изученную информацию и попрактиковаться, например, в нахождении двугранного угла, предлагаем вам выполнить соответствующие задания. Сделать это можно в режиме онлайн, находясь в любом городе. Чтобы посмотреть подборку задач, перейдите в раздел «Каталог».

Источник

Abc прямоугольный треугольник найти sabc

Задание 13. Основание пирамиды SABC — прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине С. Высота пирамиды проходит через точку B.

а) Докажите, что середина ребра SA равноудалена от вершин B и C.

б) Найдите угол между плоскостью SBC и прямой, проходящей через середины рёбер ВС и SA, если известно, что BS = AC.

а) Пусть D — середина ребра SA. По теореме о трёх перпендикулярах прямые SC и АС перпендикулярны. Медиана CD прямоугольного треугольника ACS равна половине гипотенузы AS. Медиана BD прямоугольного треугольника ASВ также равна половине гипотенузы AS. Значит, BD = CD.

б) Пусть F — середина ребра ВС, М — середина ребра SC, тогда FM — средняя линия треугольника CBS. Значит, , прямые FM и BS параллельны, то есть FM — перпендикуляр к плоскости основания пирамиды, поэтому отрезок FM перпендикулярен отрезку АС.

DM — средняя линия треугольника ASC, поэтому , а прямые DM

и АС параллельны, значит отрезок DM перпендикулярен отрезкам FM и ВС, следовательно DM — перпендикуляр к плоскости грани CBS.

Таким образом, угол DFM — это угол между прямой DF и плоскостью грани CBS. По условию задачи BS=AC, поэтому MF = DM, значит,

Источник

Решение №2665 Основание пирамиды SABC — прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине С.

Основание пирамиды SABC – прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине С. Высота пирамиды проходит через точку В.

а) Докажите, что середина ребра SA равноудалена от вершин В и С.
б) Найдите угол между плоскостью SBC и прямой, проходящей через середины рёбер ВС и SA, если известно, что BS = 2AC.

Источник: Ященко ЕГЭ 2022 (36 вар)

а) Доказать DB = DC .

Пусть D – середина ребра SA. По теореме о трёх перпендикулярах прямые SС⊥АС перпендикулярны.
Медиана (SD = DA) DC прямоугольного треугольника ΔACS равна половине гипотенузы AS.
Медиана (SD = DA) DB прямоугольного треугольника ΔASВ также равна половине гипотенузы AS. Отсюда:

DB = DC

Что и требовалось доказать.

б) ВS = 2AC, найти ∠DFM.

Пусть F – середина ребра ВС, М – середина ребра SC, тогда FM – средняя линия треугольника ΔCBS. Значит, FM=\frac <2>, прямые FM и BS параллельны, то есть FM – перпендикуляр к плоскости основания пирамиды, поэтому отрезок FM перпендикулярен отрезку АС.
DMсредняя линия треугольника ΔASC, поэтому DM=\frac <2>, а прямые DM и АС параллельны, значит отрезок DM перпендикулярен отрезкам FM и ВС, следовательно DM – перпендикуляр к плоскости грани CBS.
Таким образом, ∠DFM – это искомый угол между прямой DF и плоскостью грани CBS. По условию задачи BS = 2AC, тогда:

Источник

Читайте также:  Трапеция для щеток для шкода октавия
Поделиться с друзьями
Объясняем