11 класс геометрия объем шарового сегмента

Геометрия. 11 класс

Конспект урока

Геометрия, 11 класс

Урок №14. Объем шара и его частей

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

  • Доказательство теорем об объемах шара и его частей и площади сферы
  • Определение частей шара
  • Решение задач на нахождение объемов шара, его частей и площади сферы

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 10-11 учебник для общеобразов. учрежд.: база и профильн. М: Просвещение.2009

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни и др. – М.: Просвещение, 2014. – 255, сс. 121-126.

Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 178-196.

Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. И профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2004. – 368 с.: ил., ISBN 5–7107–8310–2, сс. 5-30.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Шаром называется множество всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не больше данного R.

Радиусом шара называют всякий отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности.

Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром шара.

Концы любого диаметра шара называются диаметрально противоположными точками шара. Отрезок, соединяющий две любые точки шаровой поверхности и не являющийся диаметром шара, называют хордой шара.

Сферическим поясом (шаровым поясом) называют часть сферы, заключенную между двумя параллельными плоскостями

Шаровым слоем называют часть шара, заключенную между двумя параллельными плоскостями

Сферическим сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит сферу пересекающая ее плоскость.

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью.

Шаровым сектором называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точки сферического сегмента с центром сферы

Объем шара равен .

Объем шарового сегмента равен .

Объем шарового сектора равен .

Объем шарового слоя равен .

Площадь сферы равна S=4 πR 2 .

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Круговой сектор радиуса R с центральным углом 60 градусов вращается вокруг одного из радиусов, образующих этот угол. Найдите объем тела вращения.

При вращении кругового сектора АОВ вокруг радиуса ОА получается тело вращения — шаровой сектор радиуса R=ОА и высотой сектора h=DA. Объем его вычисляется по формуле: V= (2/3)*πR²*h. Рассмотрим сечение этого сектора (смотри рисунок): в прямоугольном треугольнике ОВD (радиус круга ОА перпендикулярен хорде ВС) угол ВОD равен 60° (дано). Значит Тогда высота шарового сектора равна h=DA=OA-OD=R-R/2=R/2.
V=(2/3)*π*R²*R/2=(1/3)πR³.

Читайте также:  Выявите формулу не относящуюся к вычислению поверхности или объема конуса

№2. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 6 см, а высота конуса, образующего сектор, составляет треть диаметра шара.

Шаровой сектор — это часть шара, ограниченная кривой поверхностью шарового сегмента и конической поверхностью, основанием которой служит основание сегмента, а вершиной — центр шара. Формула объема шарового сектора: V = (2/3)*πR²*h, где h — высота сегмента. В нашем случае R=H+h, где Н — высота конуса, а h- высота сегмента. Тогда h = R-H = 6-4 =2, так как Н = (1/3)*2*R (дано). Значит V = (2/3)*π*36*2 = 48π.
Ответ: объем шарового сектора равен 48π

№3.По разные стороны от центра шара проведены два параллельных сечения с площадью и см 2 . Расстояние между сечениями равно см. Определите объём получившегося шарового слоя.

Решение: запишем формулу для вычисления объема шарового слоя.

Чтобы найти объём шарового слоя нам необходимо знать его высоту и радиусы двух его оснований.

По условию задачи нам дано расстояние между сечениями, как раз-таки это расстояние и есть высота данного шарового слоя, и она равна .

Теперь найдём чему равны радиусы оснований шарового слоя. Напомню, что сечением шара плоскостью является круг. Площадь круга вычисляется по формуле . Отсюда найдём радиусы оснований шарового слоя. Тогда имеем, радиус одного основания равен (см), радиус второго основания равен (см).

Подставим радиусы оснований и высоту шарового слоя в формулу его объёма. Посчитаем. Получаем, что объём данного шарового слоя равен .

Источник

Объем шарового сегмента,шарового слоя и шарового сектора

Опорный конспект по теме:»Объем шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора».Подробный разбор каждой задачи с иллюстрацией.

Просмотр содержимого документа
«Объем шарового сегмента,шарового слоя и шарового сектора»

Объем шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора

На уроке мы рассмотрим части шара: шаровой сегмент, шаровой слой и шаровой сектор

Определение. Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью.

Секущая плоскость разбивает шар на два шаровых сегмента.

Круг, получающийся в сечении, называется основанием каждого из этих сегментов, а длины отрезков диаметра, перпендикулярного к секущей плоскости, называются высотами сегмента.

Читайте также:  Газель 2834 объем двигателя

На экране высоты сегментов обозначены

Теорема. Объем шарового сегмента равен

где R – радиус шара;

h – высота сегмента.

Применим уже известную нам интегральную формулу для вычисления объемов тел.

Проведем ось Ox перпендикулярно к плоскости основания.

Тогда произвольное сечение, проведенное перпендикулярно к оси Ox, будет кругом, а его площадь S выражается формулой:

, при R- hxR.

Эту формулу мы получили при выводе формулы объема шара.

Вычислив соответствующий определенный интеграл, получаем:

.

Теорема. Объем шарового сегмента равен

где R – радиус шара;

h– высота сегмента.

Проведем ось Oxк плоскости основания.

Тогда произвольное сечение, проведенное Ox, будет кругом, а его площадь S выражается формулой:

, при R- hxR.

Вычислим соответствующий интеграл:

.

Определение. Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными сечениями.

Расстояние h между сечениями называется высотой слоя, а сами сечения – основаниями слоя.

Объем шарового слоя можно вычислить как разность объемов двух шаровых сегментов.

Например, объем шарового слоя, изображенного на экране, равен разности объемов шаровых сегментов с высотами AC и BC.

Определение. Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора с углом меньшим 90 0 , вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих сектор радиусов.

Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса.

Если радиус шара равен R, а высота шарового сегмента равна h, то объем V шарового сектора вычисляется по формуле:

Переходим к решению задач.

Диаметр шара разделен на три равные части и через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные к диаметру. Найдите объем получившегося шарового слоя, если радиус шара равен R.

D –диаметр, точки C, D делят диаметр на три равные части:

Нужно найти:

Диаметр шара разделен на три равные части и через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные к диаметру. Найдите объем получившегося шарового слоя, если радиус шара равен R.

AB–диаметр,

Найти :

Объем шарового слоя можно найти как разность объемов двух шаровых сегментов, с высотами AD и AC.

Обозначим высоты сегментов через

На чертеже отрезок AB – диаметр шара и он равен двум радиусам, высота первого сегмента h1 — отрезок AD, высота второго h2 — отрезок AC.

Так как по условию задачи, точки C и D делят диаметр шара AB на три равные части (AC = СD = DB), то

Общая формула для нахождения объема шарового сегмента:

Читайте также:  Ford focus 3 датчики объема

Найдем объем большего сегмента:

Найдем объем меньшего сегмента:

Теперь мы можем вычислить объем шарового слоя, вычислив их разность:

Обозначим высоты сегментов через

На чертеже AB – диаметр шара, AB = 2R,

Радиус основания шарового сегмента 8 см, а его высота – 4 см.

Найти объем сегмента.

Радиус основания r=8 см.

Нужно найти объем шарового сегмента V.

Радиус основания шарового сегмента 8 см, а его высота – 4 см.

Найти объем сегмента.

Формула для вычисления объема шарового сегмента:

где R – радиус шара;

h – высота сегмента.

Найдем радиус шара R.

Проведем ось Ox перпендикулярно основанию шарового сектора. Она пройдет через центр основания (свойство высоты, опущенной из центра шара на секущую плоскость) и будет перпендикулярна его радиусу ( ).

Рассмотрим осевое сечение.

Так как OA = OB = R, то OC = R –AC = R – 4

По теореме Пифагора:

После подстановки значений получим уравнение с одной переменной:

Решая это уравнение, найдем R.

Теперь можно вычислить объем

Формула для вычисления объема шарового сегмента:

где R – радиус шара;

h– высота сегмента.

Найдем радиус шара R.

Проведем ось Ox перпендикулярно основанию шарового сектора.

Рассмотрим осевое сечение.

Так как OA =OB = R, то OC = R –AC = R – 4

По теореме Пифагора

Подставив значения, получим уравнение:

Решая его, найдем R.

Найдите объем шарового сектора, если радиус окружности основания соответствующего шарового сегмента равен 60 см, а радиус шара равен 75 см.

Формула для нахождения объема шарового сектора:

h – высота шарового сегмента.

Радиус шара нам известен по условию задачи.

Не известно значение высоты h.

Для нахождения h проведем ось Ox перпендикулярно основанию шарового сектора и рассмотрим осевое сечение.

На чертеже AO = OB = R, поэтому h = CB = R – CO.

Отрезок CO можно найти из треугольника ACO.

Так как ось Ox перпендикулярна основанию сегмента, то она перпендикулярна его радиусу ( .

Треугольник AOC – прямоугольный.

По теореме Пифагора:

Теперь можно найти h:

h = R – CO=75 – 45=30 см

Осталось вычислить объем:

Ответ: 112 500 πсм 3 .

Найдите объем шарового сектора, если радиус окружности основания соответствующего шарового сегмента равен 60 см, а радиус шара равен 75 см.

Дано: шаровой сектор

Формула для нахождения объема шарового сектора:

h – высота шарового сегмента.

Для нахождения h проведем ось Ox перпендикулярно основанию шарового сектора и рассмотрим осевое сечение.

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем