1 свойство прямоугольного треугольника сумма острых углов с доказательством

Свойства прямоугольного треугольника — определение и вычисление с примерами решения

Свойства прямоугольного треугольника:

Рассмотрим свойства прямоугольного треугольника, которые следуют из теоремы о сумме градусных мер углов треугольника.

Свойство 1 (свойство катета, лежащего против угла в 30°). Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

1) Пусть АСВ — прямоугольный треугольник, в котором

2) Так как сумма градусных мер углов треугольника равна 180°, то в прямоугольном треугольнике АСВ ABC = 60°.
3) Пусть точка О лежит на луче ВС так, что СО = СВ. Тогда прямоугольные треугольники АСО и АСВ равны по двум катетам (катет АС — общий, СО = СВ), следовательно, AOB = 60°.

4) В треугольнике АОВ выполняются равенства AOB = OAB = 60°, а, значит, стороны, лежащие против этих углов, равны, т. е. АВ = ОВ. Так как CB = OB, следовательно, CB = AB.

Например, пусть отрезок АВ — диаметр окружности, а точка С принадлежит окружности и ABC = 30°, тогда AC = AB. Действительно, в треугольнике АСВ угол С прямой (см. задачу 251, § 1, глава 5). Тогда в прямоугольном треугольнике АСВ катет АС равен половине гипотенузы АВ, т. е. AC = AB (рис. 115, б).

Свойство 2. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то градусная мера угла, лежащего против этого катета, равна 30°.

1) Пусть в прямоугольном треугольнике АСВ катет ВС равен половине гипотенузы АВ. Докажем, что градусная мера угла CAB равна 30° (рис. 116).

2) Пусть точка D лежит на луче ВС так, что CD = СВ. Тогда треугольники АСВ и ACD равны по двум катетам. Отсюда следует, что АD = АВ, а поскольку DВ = 2 СВ = АВ, то треугольник АDВ равносторонний и градусная мера каждого его угла равна 60°. Так как DAB = 2CAB = 60°, то САВ = 30°.

Пример:

ОА1В1, А1О = ОВ1.

Доказать: А ОВ — равнобедрен ный.

Для доказательства равенства каких-либо отрезков достаточно доказать равенство некоторых треугольников, сторонами которых являются эти отрезки.

1) Рассмотрим треугольники АА1О и ВВ1О (см. рис. 117, а). Так как гранями куба служат квадраты, то AA1O = BB1O = 90°, т. е. треугольники АА1О и ВВ1О — прямоугольные.

2) Докажем равенство прямоугольных треугольников АА1О и ВВ1О . Поскольку стороны квадрата равны, то АА1 = ВВ1 (см. рис. 117, а, б). Кроме того, по условию А1О = ОВ1. Таким образом, прямоугольные треугольники АА1О и ВВ1О равны по двум катетам. Из равенства этих треугольников следует, что АО = ОВ, т. е. треугольник АОВ — равнобедренный.

Справочный материал:

Признаки равенства прямоугольных треугольников

  • ✓ Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.
  • ✓ Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
  • ✓ Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.
  • ✓ Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу. Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого, то такие треугольники равны.
  • ✓ Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
Читайте также:  Как провести касательную к окружности через точку не лежащую на окружности

Свойства прямоугольного треугольника

  • ✓ В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета. Катет, лежащий против угла, величина которого равна 30°, равен половине гипотенузы.
  • ✓ Если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.
Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Расстояние между параллельными прямыми
  • Задачи на построение циркулем и линейкой
  • Задачи на построение по геометрии
  • Угол — определение, виды, как обозначают с примерами
  • Второй и третий признаки равенства треугольников
  • Параллельные прямые
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Неравенство треугольника — определение и вычисление

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).

Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

Читайте также:  Какие могут быть углы прямоугольного треугольника

3. Теорема Пифагора:

, где – катеты, – гипотенуза. Видеодоказательство

4. Площадь прямоугольного треугольника с катетами :

5. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

7. Радиус описанной окружности есть половина гипотенузы :

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

Источник

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • Виды треугольников.
  • Прямоугольный треугольник.
  • Свойства прямоугольного треугольника.
  • Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Остроугольный треугольник – треугольник, у которого все углы острые.

Тупоугольный треугольник – треугольник, у которого два угла острые, а третий – тупой.

Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один угол – прямой, т.е. равный 90°. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны – катетами.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный любому углу треугольника. Его градусная мера равна сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
  1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
  2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
  3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
  4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
  5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Давайте рассмотрим виды треугольников. Существуют следующие виды:

  1. Остроугольный треугольник – треугольник, у которого все углы острые.
  2. Тупоугольный треугольник – треугольник, у которого два угла острые, а третий – тупой.
  3. Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого два угла острые, а один – прямой, т.е. равный 90°. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны – катетами.

Обратите внимание, на рисунке изображён треугольник АВС с прямым углом С, в прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда является самой большой стороной.

Рассмотрим свойства прямоугольного треугольника:

  1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Сумма всех углов треугольника равна 180°, прямой угол равен 90 0 , следовательно, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

  1. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла 30 0 , равен половине гипотенузы.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, в котором ∠А – прямой, ∠В = 30° и, значит, ∠С = 60°.

Читайте также:  Как правильно установить трапецию на дворники ваз 2106

Докажем, что FC = ½ BC

Достроим к треугольнику АВС равный ему треугольник ABD так, как у нас показано на рисунке. Получим треугольник ВСD, в котором ∠В = ∠D = 60°, поэтому DC = BC (по признаку равнобедренного треугольника). Но АС = ½ DC. Следовательно, АС = ½BC, что и требовалось доказать.

  1. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, у которого катет АС равен половине гипотенузы ВС. Докажем, что ∠АВС = 30°.

Достроим к треугольнику АВС равный ему треугольник ABD так, как у нас показано на рисунке. Получим равносторонний треугольник BCD. Углы равностороннего треугольника равны друг другу (т.к. сумма углов треугольника равна 180°, а в равностороннем треугольнике все углы равны, следовательно, 180° : 3= 60° – каждый угол равностороннего треугольника). В частности, ∠DВС = 60°. Но ∠DВС= 2∠АВС. Следовательно, ∠АВС = 30°, что и требовалось доказать.

Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами прямой, а любые два прямых угла равны, то из первого признака равенства треугольников следует:

если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

Далее из второго признака равенства треугольников следует:

если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему другого, то такие треугольники равны.

Рассмотрим ещё два признака равенства прямоугольных треугольников.

Теорема. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

Дано: ∆АВС и ∆НМХ, ∠С = ∠Х = 90°, АВ = НМ, ∠А = ∠Н.

Доказать: ∆АВС и ∆НМХ

Доказательство. Из первого свойства прямоугольных треугольников мы можем сделать вывод, что в таких треугольниках два других острых угла также равны, поэтому треугольники равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Теорема доказана.

Разбор заданий тренировочного модуля.

№ 1.Найдите острые углы прямоугольного равнобедренного треугольника.

Объяснение. Мы знаем, что сумма двух острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°, а в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, можно вычислить градусную меру острого угла прямоугольного равнобедренного треугольника: 90° : 2= 45°.

Ответ: острый угол прямоугольного равнобедренного треугольника равен 45°.

№ 2.Опираясь на рисунок, укажите, по какому признаку равны треугольники.

  1. по катету и прилежащему к нему острому углу;
  2. по гипотенузе и прилежащему к ней острому углу;
  3. по катету и прямому углу;
  4. двум катетам.

Объяснение. На рисунке указано равенство катетов МС и ВС, углы МСН и ВСА вертикальны, значит, они равны. Следовательно, треугольники АВС и НСМ равны по катету и прилежащему к нему острому углу, подходит ответ 1.

Ответ: 1. по катету и прилежащему к нему острому углу.

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем